Тактическое планирование модельного эксперимента. Определение объема статистических испытаний при эксплуата-ции имитационной мод

Тактическое планирование модельного эксперимента. Определение объема статистических испытаний при эксплуата-ции имитационной модели

Тактическое планирование (ТП) связано с определением эффективности и ресурсоемкости каждого конкретного эксперимента, представляющего собой серию повторяющихся испыта-ний (прогонов) ИМ, однотипных в смысле задания исходных данных или комбинаций факторов, установленных в ходе СП.

Тактическое планирование сводится к решению двух типов задач:
определение начальных условий в той мере, в какой они влияют на установление стационарного режима работы модели;
снижение погрешности (дисперсии) получаемых при моде-лировании оценок реакции системы при одновременном сокра-щении объема испытаний (числа прогнозов).
В отличие от реального объекта в модели всегда существует пе-реходный период, связанный с тем, что случайные процессы, разыг-рываемые в модели, требуют определенного времени для выхода в установившийся режим. Возникает задача снижения или исключения влияния начального периода при проведении каждого прогона моде-ли. При этом используют три основных подхода:
увеличение длительности каждого прогона так, чтобы влияние переходного периода было бы заведомо незначительным;
исключение из рассмотрения начального периода (введение эта-па предварительной «раскрутки» процесса имитации);
искусственный подбор близких к режимным начальных условий для каждой реализации.
При решении первой задачи тактического планирования в рам-ках рассмотренных подходов используют, в основном, эвристиче-ские приемы, опирающиеся на знание физики разыгрываемых в ИМ процессов.
Вторая задача тактического планирования может быть решена строго математически. Она фактически сводится к определению га-рантированного объема испытаний (размера выборки, числа прого-нов) для получения требуемой точности оценивания компонентов от-клика системы, описывающих ее эффективность.
Оценка непрерывнозначной величины. В ходе моделирова-ния в этом случае проводится оценка математического ожидания и дисперсии некоторого компонента реакции системы по формулам mD
?===n1ii*un1m~y, ???===n1i2i**)um~(1n1D~y, (2.5)
iu – наблюдение случайной величины , полученное в -ой реализации, Uin,1i=;
n – количество повторяющихся испытаний.
Величина m~, как правило, характеризует такие показатели, как среднее время выполнения системой своих функций, средний расход энергоресурсов и т.д.
Величина D~ – определяет разброс реакции относительно сред-него значения, а, кроме того, часто выступает как самостоятельный показатель точности.
Для используемых оценок (2.5) выполняются соотношения
m]m~[M=, nD])mm~[(M22m~=?=?,
(2.6)
D]D~[M=, )n(nM])DD~[(M24422D~??+??=?=?,
m, – истинные математическое ожидание и дисперсия величины ; 2D?=U
– центральный момент четвертого порядка. ])mU[(MM44?=U
Для гауссовской величины в (2.6) nD222D~=?.
Метод доверительных интервалов. Необходимо найти такой размер выборки, который гарантировал бы попадание истинных и оцениваемых значений и/или внутрь некоторых заранее задан-ных интервалов с вероятностью mD??1.
[]??=1dmm~Pm,
(2.7) ??=???????1dDDD~P, 1d0???,
где md, – величины, устанавливающие границы интервалов, кото-рые обычно называют доверительными. ?d
1.Задача оценки среднего. Предположим, сначала, что ошибка оценки отклонения в каждой реализации распределена по гауссов-скому или нормальному закону.
Неравенство mdmm~ эквивалентно следующему неравенству:
D~ndD~n)mm~(D~ndmm. (2.8)
Отсюда следует, что величину доверительного интервала можно определить, используя t-статистику или распределение Стьюдента с k-степенями свободы
VkZt=,
Z – нормально распределенная величина с нулевым средним и единичной дисперсией;
V – независимая от случайная величина, имеющая распре-деление с Z2?k-степенями свободы;
, причем – независимые случайные величины, рас-пределенные по нормальному закону , , ?==k1i2iVViV0]V[Mi=1]V[M2i=k,1i=.
Величина отношения в (2.8)
D~n)mm~(m?=?,
подчиняется распределению Стьюдента с 1n? степенями свободы.
Доказательство:
0]mm~[M=?; ()[]nmm~M22?=?,
а величина 2)1n(D~?? имеет распределение с степенями сво-боды (для разностей 2?1n?m~ui? в выражении для D~ имеется одна линей-ная связь ). ?=?=n1ii0)m~u(
Отсюда получим
D~n)mm~()1n(D~11nn)mm~(22?=???????.
Таким образом, неравенство (2.8) выполняется с вероятностью , если ??1
,11D~ndS2D~ndSD~ndSD~ndD~n)mm~(Pm1n1nm1nm??=?????????==??????????????????=?????????
где – функция распределения Стьюдента ()t(S1n?t-распределение).
Выражение получено, исходя из следующей цепочки преобразо-ваний:
.1du)u(f25,0du)u(f2du)u(f2du)u(f5,0du)u(f5,0)t(S)t(Sttt0t0t01n1n??=??????????==?=????????????+=???????
Отсюда получаем уравнение, связывающее md, D~ и n
)(tD~ndkpm?=, 2m2kpdD~)(tn?=, ????????=??21S)(t1nkp,
где величина вычисляется по специальным таблицам, исходя из заданного значения . )(tkp??
Реальное использование полученных соотношений в ИМ осно-вано на проведении пробной оценки доверительного интервала или введении правила автоматического останова процесса имита-ции для получения интересующей точности.
При 30n>t-распределение хорошо аппроксимируется гауссов-ским. При этом
)t(Ф5,0)t(S01n+??, dxe21)t(Фt02x02???=,
??=?1))(t(Ф2kp0, ????????=?=?21Ф)(tD~nd10kpm.
Предположение о нормальности распределения ошибок оценки отклика в каждой реализации может быть неверным.
Тогда используется неравенство Чебышева
[]2m2m~mddmm~P???=>?, n22m~?=?.
Заменяя на 2?D~, получим следующие уравнения:
D~nd2m=?, 2mdD~n?=.
2.Задача определения дисперсии. Неравенство ()? )d1)(1n(DD~)1n()d1)(1n(??+??, 1d0 Величина DD~)1n(? подчиняется распределению с степе-нями свободы. 2?1n?
Если достаточно велико, то ее можно рассматривать как рас-пределенную по нормальному закону с параметрами n1nmx?=, . )1n(2Dx?=
Соответственно можно переписать неравенство в виде
)1n(2)1n(d)1n(2)1n(DD~)1n()1n(2)1n(d?????????,
где величина )1n(2)1n(DD~)1n(W??????????= распределена по стан-дартному гауссовскому закону.
Отсюда
??=?=???????? Окончательно получим следующие уравнения:
????????=?=????21Ф)(t)1n(2)1n(d10kp,
)1n(2)(tdkp??=?, 22kpd)(t21n??+=.
3.Задача оценка вероятности события. В ходе ИМ оценивают некоторые вероятностные или процентные соотношения для компо-нентов отклика, описывающих наступление того или иного события (исхода функционирования системы).
Случайная величина в каждой реализации может принимать два значения: единица с вероятностью «хорошего» исхода и ноль с вероятностью «плохого» исхода Upp1?. В качестве оценки вероятности выступает величина p
?====n1ii*neun1p~y,
e – количество интересующих исходов в реализациях. n
Требуется найти число испытаний, при котором
[]??=1dpp~Pp, (2.10)
pd – доверительный интервал.
Величина e подчиняется биномиальному распределению
eneen)p1(pC~e??, )!en(!e!nCen?=.
При и или 5np>5)p1(n>?25)p1(pn>? можно пользоваться гауссовской аппроксимацией e с параметрами npme= )p1(npDe?=.
Можно переписать исходное неравенство pdpp~ в виде
)p1(pnd)p1(pnnpe)p1(pndpp???. (2.11)
Получим, что соотношение (2.10) эквивалентно следующему:
[]??=?=??????????=1))(t(Ф2)p1(pnd)p1(npnpePdpp~Pkp0pp
Уравнение, связывающее и , имеет вид pdn
n)p1(p)(tdkpp??=, ()2p22kpd)p1(p)(tn??=.
Для того, чтобы избавиться от неизвестного значения , можно заменить произведение p)p1(p? на величину []25,0)p1(pmaxp=?. Тогда получим выражение для гарантированных значений и pdn
n2)(tdkpгp??, 2p2kpгd4)(tn??.
Таким образом, общий подход к оптимизации процесса ими-тации в ходе тактического планирования заключается в нахож-дении уравнений, связывающих доверительные интервалы, то есть требуемую точность оценки величин в ходе ИМ, с необходи-мым объемом выборки.