Программа вступительных испытаний 010100.68 Математика 010200.68 Математика и компьютерные науки по дисциплинам: Алгебра. Математический анализ. Дифференциальные уравнения. ВГУ Математический Факультет

Программа вступительных испытаний

Программа вступительных испытаний для поступающих по направлениям магистратуры
010100.68 Математика 010200.68 Математика и компьютерные науки по дисциплинам:

  1. Алгебра
  2. Математический анализ
  3. Дифференциальные уравнения

Составитель: А.Д. Баев, д.ф.-м.н., профессор, декан математического факультета.
Настоящая программа составлена на основе программы Государственных
выпускных экзаменов бакалавриата по направлениям «Математика» и «Математика» и «Математика и компьютерные науки».

Программа адресована абитуриентам, поступающим на направления магистратур «Математика» и «Математика и компьютерные науки», которые реализуются математическим факультетом.

Разделы и тематический план дисциплины «Алгебра»

  • 1. Группы, кольца, поля. Определение и примеры.
  • 2. Кольцо многочленов Разложение многочленов на неприводимые множители
  • над полями комплексных и действительных чисел.
  • 3. Линейные пространства. Примеры. Базис и размерность линейных пространств.
  • 4. Линейные операторы. Примеры. Матрица линейного оператора. Связь матриц
  • линейного оператора в разных базисах.
  • 5. Системы линейных уравнений. Метод Гаусса.
  • 6. Билинейные и квадратичные формы. Определение и примеры. Приведение
  • квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа.
  • 7. Евклидовы пространства. Примеры. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Разделы и тематический план дисциплины «Математический анализ»

  • 1.Числовая последовательность. Критерий Коши сходимости последовательно-
  • сти.
  • 2. Непрерывность функций одной переменной и нескольких переменных в точке и
  • на множестве. Определения и примеры. Теорема Вейерштрасса об ограниченно-
  • сти функции, непрерывной на ограниченном замкнутом множестве.
  • 3. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Связь дифференциру-
  • емости функции с существованием частных производных (без док-ва).
  • 4. Непрерывность дифференцируемой функции.
  • 5. Формула Тейлора для функции одной и нескольких переменных (без док-ва).
  • 6. Интеграл Римана. Свойства интеграла. Класс интегрируемых по Риману функ-
  • ций (без док-ва).
  • 7. Числовые ряды. Признак сходимости числового ряда (любой без док-ва).
  • 8. Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональ-
  • ной последовательности. Теорема о непрерывности предела функциональной по-
  • следовательности.
  • 9. Функциональные ряды. Определение и признаки равномерной сходимости
  • функционального ряда.
  • 10. Теорема о непрерывности суммы функционального ряда.
  • 11. Ряд Фурье. Теорема Дирихле о сходимости ряда Фурье (без док-ва).
  • 12. Кратные и криволинейные интегралы. Определение. Формула Грина (без док-
  • ва).

Разделы и тематический план дисциплины «Дифференциальные уравнения»

  • 1. Алгоритм построения общего решения системы линейных дифференциальных
  • уравнений с постоянными коэффициентами (без доказательства, примеры).
  • 2. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения системы
  • дифференциальных уравнений (без док-ва, проверка условий на примерах).
  • 3. Исследование положений равновесия с помощью теоремы Ляпунова об устойчивости по первому приближению (без доказательства, примеры).

ЛИТЕРАТУРА

для подготовки к собеседованию

  • 1. Гельфанд И.М. Лекции по линейной алгебре. М. Наука. 1999. 272 с.
  • 2. Фадеев Д.К. Лекции по алгебре М. Наука. 2001. 471 с.
  • 3. Шилов Г.Е. Математический анализ. М. Наука. 1981. 436 с.
  • 4. Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н. Лекции по математическому анализу. М. Высшая школа. 1999. 695 с.
  • 5. Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М. Наука. 2000. 368 с.
  • 6. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М. Высшая школа. 1991. 303 с.

Примерные варианты заданий по математике

Вариант 1.
Алгебра.
1. Евклидовы пространства. Примеры. Процесс ортогонализации Грамма-Шмидта.

Математический анализ.
1.Функциональные ряды. Определение и признаки равномерной сходимости
функционального ряда.

Дифференциальные уравнения.
1. Теорема Коши-Пикара существования и единственности решения системы
дифференциальных уравнений (без доказательства, проверка условий на приме-
рах).

Критерии оценки

Оценка ответа по каждому из предметов проводится по 100 - балльной си-
стеме. Правильный и полный ответ на вопрос оценивается в 100 баллов.
Ошибки или неполное раскрытие вопроса приводит к снижению оценки.