программа

Содержание программы
3 семестр
Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности решения, следствие. Дискриминантная кривая, особое решение дифференциального уравнения, неразрешенного относительно производной. Методы решения уравнений, неразрешенных относительно производной: разрешение относительно производной, метод введения параметра. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Уравнения, допускающие понижение порядка. Промежуточные интегралы. Уравнения, не содержащие явно искомую функцию или независимое переменное. Понижение порядка в однородных уравнениях. Приведение к полной производной.
Непродолжаемые решения. Предложение о существовании непродолжаемого решения. Предложение о выходе непродолжаемого решения за границу ограниченного замкнутого множества, следствие для автономной системы. Пример.
Непрерывная зависимость решения от начальных условий и правой части уравнения. Теорема о непрерывной зависимости решения от правой части уравнения. Следствие о непрерывной зависимости решений от начальных условий. Теорема о непрерывной зависимости решения от параметра.
Дифференцируемость решения по параметру. Теорема о дифференцируемости решения по параметру, система уравнений в вариациях. Следствие о дифференцируемости решения по начальным значениям, система уравнений в вариациях. Теорема о дифференцируемости по параметру высоких порядков, следствие о разложении решения по степеням малого параметра.
Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Понятие автономной системы и нормальной автономной системы. Кинематическая интерпретация решения автономной системы. Совпадение двух траекторий. Положения равновесия и замкнутые кривые.
Фазовые пространства. Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. Связь геометрической и кинематической интерпретаций решений нормальной системы.
Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. Невырожденный случай. Вырожденный случай. Нулевые собственные значения. Система уравнений «Хищник-жертва».
Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Функциональная независимость первых интегралов в области, ее связь с линейной независимостью. Теорема о существовании n независимых первых интегралов. Теорема о получении решения с помощью первых интегралов. Теорема о выражении любого первого интеграла через систему n независимых первых интегралов. Первые интегралы автономных систем, теорема о существовании n-1 независимого первого интеграла, не содержащего t.
Теория устойчивости: Устойчивость решения по Ляпунову, асимптотическая устойчивость по Ляпунову, связь этих понятий. Переход от исследования устойчивости произвольного решения к исследованию устойчивости нулевого решения. Достаточное условие устойчивости для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Исследование устойчивости с помощью функций Ляпунова. Производная функции в силу системы уравнений. Теорема Ляпунова об устойчивости. Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости. Примеры. Теорема Четаева о неустойчивости. Пример. Теорема об устойчивости по первому приближению. Пример.
Уравнения в частных производных первого порядка: Линейные однородные уравнения первого порядка. Выражение решения через первые интегралы. Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения в случае двух независимых переменных. Геометрический смысл условия существования и единственности.
Список рекомендуемой литературы
1. Бибиков Ю.Н., Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1991. 303с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
2. Краснов М.Л., Киселев Л.И., Макаренко Г.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения: Задачи и примеры. М.: КомКнига, 2005. 256с.
3. Петровский И.Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: УРСС, 2003. 272с.
4. Понтрягин Л.С., Обыкновенные дифференциальные уравнения. РХД, Москва, Ижевск, 2001. 400с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
5. Степанов В.В., Курс дифференциальных уравнений. М.: КомКнига/URSS, 2006. 472с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
6. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г., Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
7. Филиппов А.Ф.. Введение в теорию дифференциальных уравнений. М.: КомКнига, 2007. 240с.
8. Филиппов А.Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям. РХД, Москва, Ижевск, 2000. 175с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
9. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения. М.: КомКнига, 2006. 312с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
Список дополнительной литературы
1д. Алеева С.Р., Белов Е.Г., Рольщиков В.Е., Ухоботов В.И., Методические указания к выполнению курсовых работ по дифференциальным уравнениям 2004. (электронный вариант на сайте кафедры).
2д. Арнольд В.И., Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 240с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)
3д. Дмитриев В.И., Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: КДУ, 2007. 220с.
4д. Зайцев В.Ф., Полянин А.Д., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 576с.
5д. Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576с.
6д. Матвеев Н.М., Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Мн.: Высшая школа, 1974. 656с. (в наличии в библиотеке ЧелГУ)

Рабочая программа
№ Темы лекционных занятий (3 семестр) Кол-во часов
1 Уравнения, неразрешенные относительно производной 1
2 Уравнения, допускающие понижение порядка. 1
3 Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами и консервативной системы. 2
4 Первые интегралы, уравнения с частными производными первого порядка. 3
5 Устойчивость. Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость по первому приближению. 4
Итого за семестр: 12
Всего: 24
Темы программы, вынесенные на самостоятельное изучение
3 семестр
1 Уравнения, неразрешенные относительно производной. Особые решения. Уравнения Лагранжа и Клеро. 4
2 Уравнения, допускающие понижение порядка. 2
3 Непродолжаемые решения. 10
4 Непрерывная зависимость решения от правой части уравнения, начальных значений и параметров. 10
5 Дифференцируемость решения по параметрам и начальным значениям. Уравнения в вариациях. 10
6 Устойчивость по Ляпунову. Теоремы Ляпунова и Четаева. Устойчивость по первому приближению. 8
7 Выполнение контрольной работы №2 16
Итого за семестр: 60
4 семестр
1 Автономные системы дифференциальных уравнений и их фазовые пространства. Кинематическая интерпретация решения автономной системы. 2
2 Фазовые траектории. Критерий положения равновесия. 2
3 Фазовая плоскость линейной однородной системы второго порядка с постоянными коэффициентами. 6
4 Фазовая плоскость консервативной системы с одной степенью свободы. 8
5 Система уравнений «Хищник-жертва». 4
6 Уравнения с частными производными первого порядка. Квазилинейные уравнения, характеристики. Задача Коши для квазилинейного уравнения. 8
7 Курсовая работа по дифференциальным уравнениям 30
Итого за семестр: 60
Методические указания студентам
Изучение каждой темы следует начинать с проработки соответствующего теоретического материала в учебниках [1], [4], [5], [7], [9] или использовать собственный конспект лекций данной дисциплины. Для усвоения теоретического материала также нужно разобрать предлагаемые в лекционном курсе примеры. Только затем следует закрепить разобранный материал изучаемой темы самостоятельным решением задач из [8].
Успешное написание контрольных работ возможно только при внимательном, всестороннем и качественном изучении соответствующих лекционных конспектов и текстов учебников. Решение задач контрольные работы оформляется в отдельной тетради с указанием фамилии студента, варианта задания, текста задач и полным, подробным решением.
Для успешного написания курсовой работы по дифференциальным уравнениям необходимо внимательно прочитать «Методические указания к выполнению курсовых работ по дифференциальным уравнениям»[1д] и изучить в необходимом объеме рекомендуемую литературу, при оформлении текста работы нужно придерживаться рекомендаций по каждой задаче курсовой работы, данных в методических указаниях. Оформление текста должно быть аккуратным, подробным, включать необходимые ссылки на использованную литературу.
Вопросы к экзамену по учебной дисциплине
«Дифференциальные уравнения», 4 семестр
1. Уравнения, неразрешенные относительно производной. Теорема существования и единственности. Способы решения
2. Уравнения, допускающие понижение порядка: уравнения, не содержащие явно искомой функции или независимого переменного, однородные уравнения, приведение к полной производной.
3. Фазовая плоскость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
4. Первые интегралы. Критерий первого интеграла. Существование n независимых первых интегралов. Получение решения с использование первых интегралов.
5. Выражение решения линейного и квазилинейного уравнения в частных производных через первые интегралы.
6. Устойчивость решения, асимптотическая устойчивость.
7. Достаточное условие устойчивости положения равновесия для линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
8. Функция Ляпунова. Дифференцирование в силу системы уравнений.
9. Теоремы Ляпунова об устойчивости и об асимптотической устойчивости.
10. Теорема Четаева неустойчивости.
11. Формулировка теорема Ляпунова об устойчивости по первому приближению.

Контрольная работа №2 по учебной дисциплине
«Дифференциальные уравнения» (сдается в 4 семестре)

1. Решить уравнение, не разрешенное относительно производной:
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
1.6.
1.7.
1.8.

2. Понизить порядок уравнения и решить его:

2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.

3. Найти общее решение уравнения в частных производных первого порядка:

3.1.
3.2.
3.3.
3.4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.

4. Определить характер положения равновесия (0,0), нарисовать фазовый портрет и исследовать на устойчивость:

4.1.
4.2.
4.3.
4.4.
4.5.
4.6.
4.7.
4.8. .

Лектор__________________ доцент кафедры ТУиО, к. ф.-м. н. Алеева С.Р.

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования

"Челябинский государственный университет"

Математический факультет
Кафедра теории управления и оптимизации

Методические указания к выполнению курсовых работ по
дифференциальным уравнениям

Составители: Алеева С. Р.
Белов Е. Г.
Рольщиков В. Е.
Ухоботов В. И.

Челябинск 2010

Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.
В курсовой работе рассматривается линейная управляемая система:
Требуется подобрать управление и(?), переводящее фазовую точку (х1, х2) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).
На выбор управления и(?) накладывается условие | и(?)|=1 и и(?) имеет не более одного переключения.
Для решения поставленной задачи необходимо:
1) Нарисовать фазовые портреты двух систем (отдельно при и?1 и и?-1), пояснив процесс построения.
2) С помощью фазовых портретов осуществить синтез управления, указав линии переключения. Для этого совместить фазовые портреты при и?1 и и?-1 на одной координатной плоскости, изображая их разными цветами, линию переключения выделить;
3) На фазовой плоскости выделить (заштриховать) область достижимости(все начальные положения, из которых возможно достижение точки (0,0) с управлением, имеющим не более одно переключения).
Методы построения фазовых портретов можно изучить в [1,2,5].
С теорией оптимального управления можно ознакомиться в [3,4].

Варианты курсовых работ

I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.

Литература
1. Лизоркин Г.И. Курс обыкновенных дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1981, Гл.7. §6. С.344-348.
2. Эльсгольц Г.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969, Гл.2. §7.
3. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969, Гл.1. §5.
4. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969, Гл.1. §3.
5. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974, Гл.2. §16.