Метрика -- что это в математике. Определение

Метрикой называется функция $d()$ заданная в некотором пространстве $X$, и отображащая: $X \times X \rightarrow \mathbb{R}$.
Эта функция должна соответствовать 3 аксиомам (они должны выполнятся):

  1. $d(x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y, \forall x,y \in X$ - расстояние равно нулю, только когда элементы совпадают
  2. $d(x, y) = d(y, x), \forall x,y \in X$ - Cимметричность
  3. $d(x, z) \leq d(x_1, y) + d(y, z), \forall x,y,z \in X $ - Аксиома треугольника

ВНИМАНИЕ: понятие расстояния первично (то есть это страница очень важна!) для определения окрестости точки, и вообще всех понятий отсюда, до того как мы вводим более абстрактное и универсальное понятие топологического пространства.

Понятие расстояния "вообще"

Понятие расстояния условно (в разных пространствах правила измерения расстояния между двумя элементами можно задавать по-разному) - то есть это просто какая-то величина (метрика - закон измерения) ,которую в ряде случаев можно рассматривать как расстояние -
например для пространства всех точек на плоскости.

к функции, которая задаёт расстояние предъявляются три обязательных требования:

  1. она принимает значение ноль (0) только если оба элемента, между которыми требуется определить расстояния равны нулю
  2. расстояния от А до Б всегда равно расстоянию от Б до А (аксиома симметрии)
  3. p(x,z) <= p(x,y) + p(y,z) 

    - то есть расстояние от одной точки до другой ,при проходе "промежуточной" не может быть меньше чем "кратчайшее" расстояние между ними - данное утверждение также известно как аксиома треугольника