Реформы математического анализа. Идеи Больцано в области теории функций. Огюст Коши и построение анализа на базе теории пределов.

Реформы математического анализа - идеи Больцано в области теории функций. Огюст Коши и построение анализа на базе теории пределов.

Реформы математического анализа
Анализ в XIX веке развивался путём быстрой, но мирной эволюции.

Наиболее существенной переменой стало создание фундамента анализа (Коши, затем Вейерштрасс). Благодаря Коши мистическое понятие актуального бесконечно малого исчезло из математики (хотя в физике оно используется до сих пор). Были поставлены вне науки и сомнительные действия с расходящимися рядами. Коши построил фундамент анализа на основе теории пределов, близкой к ньютоновскому пониманию, и его подход стал общепринятым; анализ стал менее алгебраичным, но более надёжным. Тем не менее до уточнений Вейерштрасса многие предрассудки ещё сохранялись: например, Коши верил, что непрерывная функция всегда дифференцируема, а сумма ряда из непрерывных функций непрерывна.

Широчайшее развитие получила теория аналитических функций комплексного переменного, над которой работали Лаплас, Коши, Абель,Лиувилль, Якоби, Вейерштрасс и другие. Значительно расширился сам класс специальных функций, особенно комплексных. Главные усилия были направлены на теорию абелевых функций, которые не вполне оправдали возлагавшиеся на них надежды, но тем не менее способствовали обогащению аналитического инструментария и созданию в XX веке более общих теорий.

Многочисленные прикладные задачи деятельно стимулировали теорию дифференциальных уравнений, выросшую в обширную и плодотворную математическую дисциплину. Детально исследованы основные уравнения математической физики, доказаны теоремы существования решения, создана качественная теория дифференциальных уравнений (Пуанкаре).

К концу века происходит некоторая геометризация анализа — появляются векторный анализ, тензорный анализ, исследуется бесконечномерное функциональное пространства (см. Банахово пространство, Гильбертово пространство). Компактная инвариантная запись дифференциальных уравнений гораздо удобнее и нагляднее, чем громоздкая координатная запись.
Идеи Б. Больцано в области теории функций
Больцано ввел в обиход многие математические понятия и доказал целый ряд теорем математического анализа(понятие плотности множества точек прямой, понятие отрезка, промежутка, счетного, несчетного и собственно-бесконечного множеств, определение функции ее непрерывности и др.; теорема о верхней границе множества, о сходности рядов и т. д.).
Анализ функций действительной переменной начал набирать признаков отдельного раздела математики, когда Бернард Больцано дал современное определение непрерывности в 1816
Большой магматический труд Больцано "Учение о функциях", написанный в 1830 г., увидел свет только через сто лет. В нем, в частности, Больцано (за 30 лет до К.Вейерштрасса) строит непрерывную кривую, не имеющую касательной ни в одной точке.
Больцано первым подошел к арифметической теории действительного числа (в опубликованных рукописях 1816—1819). Им также были выдвинуты базисные теоремы и понятия математики, к которым мировая наука подошла существенно позднее: примеры непрерывных, но нигде не дифференцируемых функций, полученные при помощи геометрических соображений (1830)
Известна Теоре?ма Больца?но — Коши? о промежуточных значениях непрерывной функции в математическом анализе и общей топологии

Работая над техникой доказательств в математическом анализе, Больцано дал некоторые образцы теоретико-множественных рассуждений (теорема о предельной точке, понятие о сходимости ряда и др.). В «Парадоксах бесконечного» (1851, рус. пер.: Одесса, 1911) он еще до Г.Кантора начал исследования бесконечных множеств, отстаивая, вслед за Лейбницем, объективность актуально-бесконечного (см. Абстракция актуальной бесконечности).

Б.Больцано (1781-1848) во многом опередил работы О.Коши (1789-1857) и К.Вейерштрасса
(1815-1897) в области обоснования анализа. В частности, он построил пример непрерывной функции, не имеющей конечной производной ни в одной точке.

Еще до Лобачевского аналогичная точка зрения на понятие функции была высказана чешским математиком Б. Больцано. Таким образом, современное определение функции, свободное от упоминании об аналитическом задании, обычно приписываемое Дирихле, неоднократно предлагалось и до него.

Огюст Коши и построение анализа на базе теории пределов.

В конкурсе, объявленном Лагранжем в Берлинской Академии наук для прояснения понятия «бесконечность», участвовал Карно. Он первым отметил, что понятия потенциальной бесконечно малой и предела неразрывно связаны, и первым определил бесконечно ма¬лую как переменную, пределом которой является нуль. Это открывало путь к синтезу теории пределов и исчисления бесконечно малых — синтезу, который Карно безуспешно пытался осуществить и который удался Коши.

Огюстен Коши стал главным «проводником» строгости в исчислении бесконечно малых. Этому посвящены три его работы, появившиеся между 1821 и 1829 гг.: «Курс анализа» (1821), «Краткое изложение лекций по исчислению бесконечно малых» (1823) и
«Лекции о дифференциальном исчислении» (1829). От метода Ла¬гранжа Коши отказался, так как Лагранж не обратил внимания на расходимость многих рядов.

За основное понятие Коши принял понятие предела. Развив идею Даламбера, но отказавшись окончательно от геометрическо¬го подхода, с которым она была еще тесно связана, он определил предел как чисто арифметическое понятие. Вот его определение: если значения, последовательно приписываемые одной и той же переменной, неограниченно приближаются к фиксированному зна¬чению, так, что, в конце концов, отличаются от него сколь угодно мало, то последнее называют пределом всех остальных. Вслед за Коши большинство аналитиков приняли предел за основу исчисле-ния бесконечно малых.

В свете концепций предела, переменной и функции Коши разъ¬яснил понятие бесконечно малой величины, которая является не чем иным, как сходящейся последовательностью с пределом нуль: если последовательные числовые значения переменной неограни¬ченно убывают, так, что становятся меньше любого заданного числа, то эта переменная становится тем, что называют беско¬нечно малой или бесконечно малым количеством. Переменная это¬го рода имеет пределом нуль. Производная непрерывной функции у = f(x) также определяется через предел. Это предел отношения (f(x + i) — f(x))/i, если он существует, когда i стремится к нулю.

Определив производную, Коши установил ее связь с дифферен¬циалами Лейбница: если dx — некоторая конечная величина, диф¬ференциалом dy функции у = f(x) будет просто f'(x)dx. Таким образом, величины dx и dy определены только одним свойством, заключающимся в том, что их отношение равно производной f’(x).

Ньютон и Лейбниц разработали две различные концепции инте¬грала. Ньютон использовал в основном неопределенный интеграл и рассматривал интегрирование как операцию, обратную дифференцированию. В течение всего XVIII в. этот подход был преобладающим. Лейбниц интерпретировал площади и объемы как суммы прямоугольников и цилиндров, что привело к понятию определенного интеграла. Коши, первым давший точное определение интеграла, придерживался концепции Лейбница.

Определенный интеграл введен Коши в 21-й лекции в работе «Резюме лекций, прочитанных в Королевской Политехнической школе» (1823). В предисловии он писал: «В интегральном исчислении мне представилось необходимым доказать общим образом существование интегралов, или первообразных функций, прежде чем знакомить с их различными свойствами. Чтобы достигнуть этого, потребовалось сначала установить понятие интегралов, взятых между данными пределами, или определенных интегралов» .

Коши ввел неопределенный интеграл как частный случай опре¬деленного при переменном верхнем пределе. Он доказал непре¬рывность такого интеграла по верхнему пределу и теорему о том, что производная его по верхнему пределу равна подынтегральной функции. Коши доказал также справедливость формулы Ньютона — Лейбница. Он сформулировал положения, связанные с диф¬ференцированием и интегрированием по параметру.
Две лекции Коши посвятил несобственным интегралам. Данное им определение несобственных интегралов без существенных из¬менений дошло до наших дней. Дальнейший шаг к строгости вычислений вслед за Больцано и Коши сделал немецкий аналитик Карл Вейерштрасс.

Cреди важнейших работ Коши следует выделить его «Мемуар об определенных интегралах, взятых между мнимыми пределами» (1825), где доказана интегральная георема Коши и вводятся вычеты. Так как одновременно появля- ппсь работы Гаусса и Лорана по вопросам теории функций ком- и нсксного переменного, в теоретических исследованиях Коши не пришлось встретиться с сопротивлением специалистов: с самого начала они были приняты полностью.

Несколько признаков сходимости в теории рядов носят имя Ко¬ши. В его книгах вполне определенно намечается арифметизация инализа, которая позже стала сутью исследований Вейерштрасса. Коши также первым доказал существование решения дифференциального уравнения и системы таких уравнений (1836). То есть он заложил основы для разрешения ряда проблем и парадоксов, которые были бичом математиков со времен Зенона, и сделал это, не отрицая и не игнорируя их, а создав математическую технику, позволившую их учесть.