Неравенство Пуанкаре

Неравенство Пуанкаре

Докажем неравенство Пуанкаре.

Пусть функция $U(x) $ непрерывно дифференциируема $U(x) = С^1(0, 1);\;u(0) = 0$ тогда:
$\Large \displaystyle 2 \int\limits_0^1 u^2(x)dx \leq \int\limits_0^1 (u'(x))^2 dx $
здесь мы показываем, что

$ ||u'(x)||^2 \geq ||u(x)||^2$

Доказательство

Дифференциирование можно записать так:
$\Large \displaystyle u(x) = u(0) + \int\limits_0^x u'(t)dt = \int\limits_0^x u'(t)dt $ - так как у нас по условию теоремы $u(0) = 0$
Тогда мы можем записать, что (выполнив формальное умножение на единицу):
$\Large \displaystyle u^2(x) = \Bigg(\int\limits_0^x 1 \cdot u'(t)dt\Bigg)^2 \leq \int\limits_0^x 1^2dt \cdot \int\limits_0^x (u'(t))^2dt^2 $

Последнее выражение справедливо в силу неравенства Коши-Буняковкого, где скалярное произведение в Гильбертовом пространстве подчиняется правилу:
$(x, y)^2 \leq (x, x)(y, y)$
тогда:
$(1, u'(t))^2 \leq (1, 1) (u', u')$

Далее вернёмся к нашему неравнеству и уточним чему равна правая часть:
$\Large \displaystyle u^2(x) = \Bigg(\int\limits_0^x 1 \cdot u'(t)dt\Bigg)^2 \leq \int\limits_0^x 1^2dt \cdot \int\limits_0^x (u'(t))^2dt = x \int\limits_0^x (u'(t)dt)^2$ - функция неотрицательна, а значит можно "отсоединить" следующее:
$\Large u^2(x) \leq x \int\limits_0^x (u'(t)dt)^2$
И левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, а значит мы можем интегрировать две неотрицательные функции и неравентво сохраниться:
$\Large \displaystyle \int\limits_0^1 u^2(x) dx \leq \int\limits_0^1 x dx \int\limits_0^1 (u'(t))^2dt$
откуда получаем:
$\Large \displaystyle 2 \int\limits_0^1 u^2(x) dx \leq \int\limits_0^1 (u'(t))^2dt$