Топологические пространства - их значение, в частности - без метрики

Далее я процитирую (по смыслу и местами - дословно) учебник Колмогорова, Фомина:

Основные понятия теории метрических пространств, например:

1. предельная точка
2. точка прикосновения
3. замыкание множества
4. и другие

- эти понятия мы вводили, опираясь на понятие окрестности - а это, фактически то же самое, что понятие открытого множества, а они в свою очередь заданы с помощью понятия метрики, заданной в рассматриваемом пространстве.

Но возможен иной подход.

Можно вообще не вводить метрику в пространстве (то есть понятие о расстоянии между элементами), а непосредственно определить в пространстве R систему открытых множеств (просто назвав их "открытыми") посредством аксиом. Этот путь обеспечивает значительно большую свободу действий, приводит нас к топологическим пространствам, по отношению к которым метрические пространства представляют собой хотя и весьма важный, но несколько специальный (частный) случай.