Норма - определение нормы

Норма -- функция, позволяющая "оценить" элемент пространства, обычно в численно виде (например: длина вектора, абсолютное значение числа и т.д.)

Норма вектора

Для векторного пространства $X$ нормой называют отображение из $X$ в в поле вещественных чисел $\mathbb{R}$, такое что выполняются следующие свойства:

  1. $ \| x \| \geqslant 0, \; \| x \| = 0 \Leftrightarrow x = 0 $ (норма только нулевого вектора равна нулю.)
  2. $ \| \lambda x \| = | \lambda | \cdot \| x \| $ (норма произведения вектора на скаляр равна произведению модуля скаляра и нормы вектора.)
  3. $ \| x + y \| \leqslant \| x \| + \| y \| $ (Неравенство треугольника: Норма суммы векторов не превосходит суммы их норм.)

Как можно понять из определения, норма является естественным обобщением понятия длины вектора в евклидовом пространстве.