Множество всех точек плоскости с рациональными координатами счётно - доказательство счётности

Множество всех точек плоскости с рациональными координатами счётно

Доказательство:

1. Заметим, что если бы речь шла о множестве точек с одной рациональной (а не двумя, как на плоскости), то доказательство было бы эквивалентвалентно доказательству счётности множества рациональных чисел (что можно показать, введя понятие высоты дроби)
2. Таким образом число точек на плоскости равно числу пар координат этих точек, каждая имеет вид: (a, b)
3. В первом пункте мы показали, что число первых координат (a) - счётно, но аналогичное можно сказать и про число "вторых" координат (b). Таким образом мы имеем декартово произведение двух счётных множеств А и B
4. Декартово произведение в данном случае есть необходимость взять счётное число первых координат [A] счетное число [B] раз, то есть имеет места сумма счётного числа ([B]) счётных множеств ([A])
5. Сумма же счётного числа счётных множеств - снова счётное множество (доказывается отдельно - одно из общих свойств счётных множеств). Утверждение доказано.