[!] Глоссарий - Алгебра (теория групп) понятия, определения, примеры - "что это такое" - Diffiety School (Матфак ВГУ)

Нельзя решить задачу, если она не поставлена
- (ↄ) В. К.

Данный раздел подразумевается к использованию в качестве словаря для начинающих участников Семинара "Современные методы алгебры и топологии".
Секция будет постоянно пополняться ссылками на новые определения, примечания, рассуждения, теории, теоремы и их доказательства.

Н. Чеботарёв - "Основы теории Галуа" (глава №1, слегка нами адаптированная и прокомментированная):

  1. Основные понятия:
    1. Группа - определение
    2. Преобразование - определение
    3. Композиция (умножение) преобразований- определение
    4. Ассоциативность совокупности преобразований - свойство
    5. Единица в группе преобразований, преобразование обратное данному и особенности записи подстановок
    6. Группа содержит не более одной правой единицы - теорема (доказательство)
    7. Правая единица одновременно является и левой единицей - теорема - доказательство
    8. Правый обратный элемент является и левым обратным элементом - теорема - доказательство
    9. Не может существовать двух различных правых обратных элементов - теорема - доказательство
    10. Конечная группа - определение
    11. Порядок группы - определение
    12. Порядок элемента группы - определение
    13. Упражнение 1. Доказать, что все элементы $ J, A, A^2, ..., A^{k-1}$ где $ k$ — порядок элемента А, различны - упражнение
    14. Упражнение 2. Доказать, что равенство $A^m = A^n$ может иметь место в том и только в том случае, если разность $m-n$ делится на
    15. Представление подстановок в виде циклов
    16. Упражнение 3. Проверить соответствие подстановок циклам
    17. Упражнение 4. Доказать, что циклы составляющие одну и ту же подстановку перестановочны
    18. m-членный цикл
    19. Упражнение 5. Пусть подстановка состоит из $m_1-, m_2- ..... m_k-$членных циклов...
    20. Упражнение 6. Парадокс. Все группы коммутативны
  2. Подгруппы:
    1. Подгруппа (делитель группы), первоначальная группа - определение
    2. Упражнение 7. Доказать, что любое подмножество группы - само группа, если оно замкнуто относительно композиции
    3. Символическое исчисление совокупностей - совокупности, произведение совокупностей
    4. Упражнение 8. Доказать справедливость дистрибутивного закона
    5. Теорема 5. Когда совокупности составляют группу
    6. Обозначения для сравнения совокупностей $\geq $, $\gt$
    7. Теорема 6. Системы $ \mathfrak{H}A_i $ содержат при всяком $ A_i $ одно и то же число элементов (равное порядку группы...
    8. Теорема 7 (Лагранжа). Порядок подгруппы есть делитель порядка первоначальной группы
    9. Разложение подстановок на транспозиции
    10. Четность подстановки в зависимости от способа разложения на транспозиции
    11. Теорема 8. Произведение четный и нечетных подстановок - теорема
    12. Симметрические группы - определение 2
    13. Теорема 9. Порядок группы подстановок $n!$-ой степени есть делитель числа $n!$
    14. Знакопеременная группа и её порядок
    15. Теорема 10. Представление подстановки знакопеременной группы в виде трехчленных циклов
    16. Упражнение 9
  3. Ответы и примечания (к учебнику Чеботарёва):
    1. Упражнение 6 - "все группы коммутативны", комментарии к доказательству ("Где ошибка")
    2. Упражнение 7. Идея док-ва. Чеботарёв - Подмножество группы само группа, если замкнуто относительно композиции
    3. Упражнение 8. Док-во: Справедливость дистрибутивного закона для совокупностей


[Список задач]

Определения и теоремы:

  1. Преобразование - определение
  2. Группа - определение
  3. Ассоциативность - определение
  4. Закон композиции - композиция
  5. Правая единица - определение
  6. Правый обратный элемент
  7. Бинарная операция - определение
  8. Моноид - определение
  9. Отображение - определение
  10. Дробно-линейная подстановка
  11. Биекция - биективное отображение - взаимно-однозначное соответствие - определение
  12. Сюръекция
  13. Инъекция
  14. Коммутативность - коммутативный закон - определение
  15. Абелева группа - коммутативная группа - определение
  16. Тождественное преобразование (отображение) - определение
  17. Обратное преобразование - преобразование обратное данному - определение
  18. Подстановка - определение
  19. Правило умножение матрицы на вектор - умножение матрицы на матрицу формула - пример
  20. Цикл в подстановке (алгебра) - определение
  21. Гомеоморфизм — определение
  22. Симметрическая группа
  23. Поле - определение
  24. Замкнутость относительно операции - определение
  25. Ассоциативность композиции преобразований - доказательство
  26. Алгебра - определение
  27. Бинарное отношение - определение
  28. Отношение эквивалентности - определение
  29. Принадлежность двух элементов одному и тому же циклу - определение
  30. Подстановка является (может быть представлена) либо циклом, либо произведением циклов - теорема
  31. Если два цикла не содержат общих элементов, то они перестановочны - теорема
  32. Циклы составляющие одну и ту же подстановку перестановочны - теорема
  33. Кратность числа - определение
  34. Наименьшее общее кратное НОК - определение
  35. Транспозиция - определение
  36. Тождественная группа - определение
  37. Перестановка - определение
  38. Сопряжённая система (смежный класс) - определение
  39. Вполне упорядоченное множество - определение
  40. Линейно упорядоченное множество - определение
  41. Частично упорядоченное множество - определение
  42. Частичная упорядоченность - определение
  43. Рефлексивность отношения - рефлексивное отношение
  44. Антисимметричность - антисимметричное отношение
  45. Транзитивность - транзитивное отношение - ??
  46. Упорядоченная пара
  47. Циклическая группа - определение
  48. Разложение группы по подгруппе. Индекс подгруппы относительно группы
  49. Композиции циклов (транспозиций), дейсвия цикла на перестановку - пример
  50. Порядок цикла - определение
  51. Четность нечетность подставновки - четная нечетная подстановка - определение
  52. Множество всех биективных отображений некоторого множества элементов на себя образует группу - теорема
  53. Степень симметрической группы, степень подстановки - определение
  54. Собственный вектор, собственное значение - определение
  55. Диагональная матрица - определение
  56. Иррациоальные числа - определение
  57. Тансцендентальные числа - определение
  58. Транспонированная матрица, транспонирование -- определение
  59. Эрмитово сопряжённая матрица - определение
  60. Комплексно сопряжённая матрица -- определение
  61. Самосопряженная (эрмитова) матрица -- определение
  62. Порядок подстановки -- определение
  63. Орбита элемента группы -- определение - ???
  64. Линейная зависимоть и Линейная независимость векторов -- определение
  65. Размерность пространства -- определение
  66. Линейная оболочка набора векторов -- определение
  67. Базис линейного векторного пространства -- определение
  68. Нетривиальная (тривиальная) комбинация векторов -- определение

Другие материалы:

  1. Как Галуа записывал группы подстановок

Обозначения и соглашения по оформлению

  1. Множества -большими буквами, а их элементы -малыми - по возможности =)

Источники:

  1. Н. Чеботарёв - "Основы теории Галуа" - 1934 (часть 1)