Группа - определение

Непустое множество $X$ называют группой, если выполнены следующие четыре условия (аксиомы):

  1. На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$ :
    Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$
    (будем для определённости называть произведением результат бинарной операции $*$)
  2. Для всех элементов множества $X$ выполняется ассоциативный (сочетельный) закон, то есть:
    $ (a * b) * c = a * (b * c)$ для $ \forall a, b, c \in X$
  3. В $X$ существует правая единица (правый единичный элемент):
    $\exists j\in X\,:\,\, a * j=a$ для $\forall a\in X$
  4. Для каждого элемента $x$ множества $X$ можно найти его правый обратный элемент:
    $\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\, a * x = j$

Следует заменить слово "некоторую" на "непустую". Условие непустоты множества $X$ обязательно в этом определении.

Словосочетание "совокупность элементов $X$", вырванное из данного контекста, может быть неверно понято: буква $X$ относится к элементу совокупности, а не к самой совокупности.

Я думаю, что лучше написать короче:
"Непустое множество $X$ называют группой, если выполнены следующие четыре условия (аксиомы): "

В пунктах 3 и 4 лучше явно указать множество $X$:
"В $X$ существует правая единица ..."
"Для каждого элемента множества $X$ можно найти его правый обратный элемент"

vedro-compota's picture

math2, спасибо.
указанные правки выполнены.

А почему важно чтобы множество было непустым?
Потому что если оно пустое, то там нет единичного элемента, так как нет элементов вообще, да?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Да.
Пустое множество не может содержать единичный элемент.

Обозначать и элементы групп, и сами группы заглавными буквами одного и того же шрифта очень неудобно. Для групп (а также для их подмножеств) лучше выбрать другой шрифт, например готический,
или обозначать группы заглавными буквами, а их элементы -- строчными.

vedro-compota's picture

обозначать группы заглавными буквами, а их элементы -- строчным

это проще всего- будем этот вариант использовать.
Множество - большой буквой, а его элементы - строчными.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Первый пункт, вероятно, лучше немного переформулировать, явно указав на связь
символа $*$ и закона композиции. Например, так:

1. На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$.
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$.

Выражение же

$a*b=c\,$ для $\,\forall a, b, c \in X$

недопустимо, так как при фиксированных $a,b\in X$ позволяет произвольному $c\in X$
считаться произведением $a*b$.

В пункте 2 слово "совокупности" лучше поменять на "множества $X$".
Также считаю, что в строке
$(a?b)?c=a?(b?c)\,\,$ для $\forall a,b,c\in X$
запятая перед "для" не требуется.

vedro-compota's picture

В пункте 2 слово "совокупности" лучше поменять на "множества $X$".
Также считаю, что в строке
$(a?b)?c=a?(b?c)\,\,$ для $\forall a,b,c\in X$
запятая перед "для" не требуется.

Эти 2 (из 3-х) правки внесены, благодарю.

На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$.
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$

эту правку поддерживаю, но нужно уточнить употребление слова "произведение", так как начали с вопрозиции, а "за произведение":

На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция .........определено их произведение.....

и если используем "бинарная операция" то предлагаю объяснять его так: http://fkn.ktu10.com/?q=node/6449 (включено в наш глоссарий)

Кстати, композия в данном контексте это строго бинарная операция получается, да?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Да, бинарная.
Слово "композиция" часто к отображениям применяется:
"композиция отображений".

В книге Чеботарёва "Основы теории Галуа" рассматриваются группы биективных отображений конечных множеств.
В этих группах операция -- композиция отображений.

Здесь речь шла ещё о неверности одной формулы. Это необходимо исправить.

Слово "произведение" уточняется выражением $a*b$:

их произведение $a?b$

Было бы лучше в будущем отказаться от звёздочки и использовать
мультипликативную запись.

vedro-compota's picture

речь шла ещё о неверности одной формулы.

да, это я понял. Просто формулировака:

1. На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$.
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$

Как-то с места в карьер использует слово "произведение", предлагаю тогда так:

1. На множестве $X$ задан закон композиции -- бинарная операция $*$ (для конкретики назовём эту бинарную операцию "произведением").
Для любых двух $a,b\in X$, взятых в определённом порядке, однозначно определено их произведение $a*b$, также принадлежащее $X$

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Я говорю не о внешнем виде.
Формула из первого пункта

$a*b=c\,$ для $\,\forall a,b,c\in X$

ошибочна. Если следовать ей, то получится, что для конкретных двух выбранных элементов
$a,b\in X$ в качестве $a*b$ (результата применения операции) может быть взят произвольный элемент $c$ из $X$. Но по определению бинарной операции,
элемент $a*b$ определён однозначно (т.е. он единственный для конкретных $a$ и $b$).
Получается противоречие. Это необходимо как-нибудь исправить.

Я не говорю, что нужно писать именно то, что я тогда предложил. И слово "произведение" можно не использовать, конечно, а просто, например, сказать $a*b$ вместо произведение $a*b$.

Слово "произведение" я использовал для результата вычисления $a*b$ (операция уже произведена над $a$ и $b$).

Но я согласен, слово "произведение" ближе к мультипликативной записи.
Поэтому предлагаю изменить форму записи на мультипликативную:
обозначать операцию точкой ($\,\cdot\,$) или не обозначать вообще.

Операцию же называть произведением, я считаю, не нужно.

vedro-compota's picture

math2,

Слово "произведение" я использовал для результата вычисления a?b (операция уже произведена над a и b)

ок. аксиома 1 исправлена. По воможности проверьте.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Теперь нормально.

В четвёртом пункте пропущен звёздочка:

$\forall a\in X\,\, \exists x\in X\,\,:ax=j$

vedro-compota's picture

спасибо. звёздочку добавил)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)