Правый обратный элемент

Primary tabs

vedro-compota's picture
Submitted by vedro-compota on Mon, 01/12/2015 - 19:01

Forums:

Правым обратным элементом некоторого элемента $\Large x$ называют такой элемент $\Large y$, который в композиции с $\Large x$, находясь справа, "даёт" единицу, то есть:

$\Large x * y = j$

Кстати, эта единица будет именно "правой" (мы обозначали такую единицу - единичный элемент буквой j), так как:
$\Large x * (x*y) = x * j = x$

Существание правого обратного элемента для каждого элемента множества

Требование существание правого обратного элемента для каждого элемента множества (например, в 4-ой аксиоме из определения группы) записывают так:

$\Large \forall x\in X\,\,\exists y_x\in X\, :\,\, x * y_x = j$

То есть для каждого $x$ из множества $X$ найдётся такой элемент $y_x$ (то есть элемент $y$ зависящий от $x$), что: $x * y_x = j$, где $j$ - правая единица.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 19789 reads
vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 01/13/2015 - 16:01

мой уважаемый коллега пишет вот что:

думаю, здесь достоточно просто написать

$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\,ax=j$
Заметим, что $j$ здесь именно правая единица, данная нам аксиомой 3.

И всё.

Но дело, в том, что строка
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\,ax=j$
относится к 4-ой аксиоме отсюда, а не к определению обратного правого элемента.

....Доказательства там никакого быть не может, это просто аксиома, которую мы должны пояснить.

подразумеваю док-во того, это именно правая единица , и выше я предлагаю, скорее "показать" (чем "доказать"), это строкой:
$ x * (x*y) = x * j = x$
это корректное "показание"? =)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Tue, 01/13/2015 - 16:44

Конечно, $x?(x?y)=x?j=x$ не приведёт нас ни к каким противоречиям.

Третья аксиома указывает на существование правой единицы $j$.
Строка
$\exists j\in X\,:\,\, a?j=a$ для $\forall a\in X$
поясняет, что в аксиоме 3 подразумевается под правой единицей.
Аксиома 4 указывает на существование для каждого элемента из $X$ правого обратного.
Строка
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\,ax=j$
поясняет, что в аксиоме 4 подразумевается под правым обратным элементом.
И здесь присутствует элемент $j$, существование которого обеспечено аксиомой 3.

Мне кажется, что посторонние общие определения правого обратного элемента и правой единицы конкретно здесь не требуются. Более того, они могут привести к путанице в обозначениях.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 01/13/2015 - 16:56

math2, символьные строки

$\exists j\in X\,:\,\, a?j=a$ для $\forall a\in X$
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\,ax=j$

для 3 и 4-ой аксиом определения группы добавлены мной в это определение.
Правка выполнена.

Мне кажется, что посторонние общие определения правого обратного элемента и правой единицы конкретно здесь не требуются.

Поэтому они и вынесены на отдельные страницы, дабы собрать максимум информации и замечаний.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Tue, 01/13/2015 - 16:08

Я думаю, здесь достоточно просто сказать:
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\,ax=j$.
Заметим, что $j$ здесь именно правая единица, данная нам аксиомой 3.

И всё.
A в отдельном определении

Правым обратным элементом некоторого элемента x называют такой элемент y, который в композиции с x, находясь справа, "даёт" единицу, то есть:
$\Large x * y = j$

здесь никакой необходимости нет.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 01/13/2015 - 16:22

Я думаю, здесь.......

"здесь" - это где?
Эта тема- ну если по загаловку судить она как бы и посвящена определению правого обратного элемента.
приведённую же строку
$\forall a\in X\,\,\exists x\in X\, :\,\,ax=j$
, тогда уж надо вписывать в пукт 4 определения группы (4-я аксиома) ,но формулы мы там не употребляли - я в том смысле, что оставшиеся три пункта надо снабжать тоже какими-то кратки математическими формулами (кванторами)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Tue, 01/13/2015 - 16:53

, тогда уж надо вписывать в пукт 4 определения группы (4-я аксиома) ,но формулы мы там не употребляли - я в том смысле, что оставшиеся три пункта надо снабжать тоже какими-то краткими математическими формулами (кванторами)

Так будет лучше всего.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 01/13/2015 - 18:27

Ок. так и сделаем (уже).
Но отдельные определения тоже полезно рассматривать - на них как раз надо ссылаться, когда основного текста не хватает.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 01/13/2015 - 16:37

я добавил строку:
$\Large \forall x\in X\,\,\exists y_x\in X\, :\,\, x * y_x = j$
в качестве замечания к определению обратного элемента (см. выше) -
кстати - думаю, что важно показать именно $\Large \forall x\in X\,\,\exists y_x\in X$
то есть что выбор правого обратного зависит от выбора элемента $\Large x$

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Wed, 01/14/2015 - 10:03

Замечание

эта единица будет именно "правой" (мы обозначали такую единицу - единичный элемент буквой j)

давалось для определения группы. Здесь, как я понял, нужно дать определение, независимое от определения группы.

Трудно сказать, какое определение здесь лучше поместить, и какое практическое применение найдёт такое определение.

Можно ввести это определение для моноида.
Например, так:

Пусть $M$ -- моноид (операцию будем обозначать через $*$), и пусть $e$ -- его единица (и левая, и правая одновременно).
Правым обратным элементом элемента $x\in M$ называют такой $y\in M$, что
$x?y=e$.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Wed, 01/14/2015 - 22:06

Да, но тогда сначала замути это само определение - моноида )), а я добавлю его в глоссарий)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)