Ассоциативность совокупности преобразований - свойство

Для всех совокупностей преобразований имеет место ассоциативный закон.

Пусть даны преобразования $\Large A, B, C,$
и пусть $\Large A$ переводит элемент $\Large m$ множества $\Large M$ в $\Large m'$,
преобразование $\Large B$ переводит $\Large m'$ в $\Large m''$,
и преобразование $\Large C$ переводит $\Large m''$ в $\Large m'''$.

Тогда нетрудно видеть, что как $\Large (AB)C$, так и $\Large A(BC)$ переводит $\Large m$ в $\Large m'''$.
Но так как в качестве $\Large m$ мы можем взять всякий элемент множества $\Large M$, то оказывается, что оба преобразования $\Large (AB)C$ и $\Large A(BC)$ переводят каждый элемент множества $\Large M$ в одинаковый (один и тот же) элемент, т. е. оба преобразования тождественны:
$\Large (AB)C = A(BC)$

Можно показать, что при соблюдении ассоциативного закона также произведение большего числа элементов не зависит от последовательности, в которой производится их перемножение (="составляется композиция").
Например $\Large ((AB) C)D = A (B (CD))$.
Поэтому при записи произведения нескольких множителей последовательность действий не отмечается. Например мы вместо $\Large ((AB)C)D$ будем писать просто $\Large ABCD$.

Интересно заметить, что если элементы какой-нибудь абстрактной группы подчиняются ассоциативному закону, то их можно рассматривать, как некоторые преобразования.
Здесь мы не будем доказывать этого предложения в общем виде.

Примечания

Выше мы говорили о тождественности
$\Large (AB)C = A(BC)$
Но давайте для начала разберёмся что такое $ (AB)C$ само по себе.

Ранее приводилось определение композиции преобразований, в комментарии к которому мы показали, что при составлении композиции мы подразумеваем, что на элемент действует сначала самый левое преобразование из входящих в композицию, а потом по очереди все те что правее (подробнее см. здесь).
В записи же $ (AB)C$ нам предлагается сначала составить композицию двух преобразований - $AB$, а затем взяв её результат построить ещё одну композицию с преобразованием $C$.
То есть сначала мы действуем на элемент m композицией AB - где сначала действует A, a потом уже B, после чего мы действуем на результат предыдущего преобразованием C.

Проведя аналогичные рассуждения можно понять, что $A(BC)$ действительно даст тот же результат при действии на элемент $m$ - только формальный ход действий здесь другой - теперь мы сначала действуем преобразованием $A$, а потом уже композицией $BC$ , но фактически и в первом и во втором случаях мы действовали на элемент одними и теми же преобразованиями в одном и том же порядке:

1. сначала преобразованием A,
2. затем на результат преобзования A преобразованием B,
3. и затем на результат B преобразованием C

То есть мы можем записать, что:
$\Large (AB)C = A(BC) = ABC$