Представление подстановок в виде циклов

Рассмотрим какую-нибудь подстановку, например:
$\begin{matrix}
1&2&3&4&5&6&7&8&9 \\
3&1&4&8&7&6&9&2&5
\end{matrix} $
(здесь вместо букв со значками, например $\Large x_1, x_2, x_3, ...$, мы просто ставим цифры, $\Large 1, 2, 3, ..$.).
В ней цифра 1 переходит в 3, 3 — в 4, 4 — в 8, 8 —в 2, 2—в 1.
Здесь мы пришли опять к исходной цифре, что мы будем выражать словами "цикл замкнулся".
Эта круговая замена цифр называется циклом и обозначается так:
$\Large (1\,\, 3\,\, 4\,\, 8\,\, 2)$
Продолжая рассуждение над цифрами, не затронутыми предыдущими циклами, мы получим еще циклы (5, 7, 9) и (6).
Таким образом мы будем записывать нашу подстановку в циклах так: (1, 3, 4, 8, 2) (5, 7, 9) (6).
В этом случае говорят, что подстановка состоит из 5-членного, 3-членного и 1-членного циклов. 1-членные циклы, оставляющие цифру на месте, обычно не пишутся.

Нетрудно также перейти от цикленной формы подстановки к первоначальной.
Пусть нам дана например подстановка (1 3) (2 4) (5 6 7).
Из определения цикла следует, что в ней 1 переходит в 3, а 3 в 1 (последняя цифра цикла переходит в первую), и так далее. Поэтому (1 3) (2 4) (5 6 7) =
$\begin{matrix}
1&2&3&4&5&6&7 \\
3&4&1&2&6&7&5
\end{matrix} $

Можно рассматривать отдельные циклы подстановки, как самостоятельные подстановки, и тогда не трудно видеть, что каждая подстановка есть произведение составляющих ее циклов.