Примерные вопросы к экзамену: по специальности 01.01.01 - ВГУ Аспирантура 2015

PDF: https://yadi.sk/i/Yc0BdSX1iGobD

https://yadi.sk/d/cWMBtb4BiGqYk

Примерные вопросы к экзамену: по специальности 01.01.01 –Вещественный, комплексный и функциональный анализ

• 1. Линейное пространство. Базис. Линейные операторы. Матрица линейного оператора. Элементарные матрицы.
• 2. Детерминант квадратной матрицы. Два определения ранга матрицы (в терминах линейной независимости строк и неравенства нулю миноров).
• 3. Система линейных уравнений. Критерий совместимости Кронекера-Капелла.
• 4. Собственные векторы и собственные числа линейного оператора. Жорданова форма. Сингулярное разложение.
• 5. Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции для квадратичной формы. Критерий Сильвестра.
• 6. Предел последовательности. Числовые ряды.
• 7. Предел функции. Дифференцируемость. Формула Тейлора. Ряд Тейлора.
• 8. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
• 9. Интеграл Римана. Несобственные интегралы.
• 10. Формулы Грина.
• 11. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Сходимость рядов Фурье для кусочно-гладких функций. Порядок убывания коэффициентов Фурье для k-раз непрерывно-дифференцируемой функции.
• 12. Равномерная сходимость ряда Фурье для непрерывно-дифференцируемой функции. Теорема Вейерштрасса (о полноте). Многочлены Чебышева.
• 13. Функции одной комплексной переменной. Условие Коши-Риммана. Интегральная формула Коши.
• 14. Степенные ряды. Первая теорема Абеля. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов.
• 15. Эквивалентность дифференцируемости и регулярности функции в области.
• 16. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Понятие вычета в изолированной точке.
• 17. Метрические пространства. Полнота. Непрерывные отображения. Компактные множества.
• 18. Принцип сжатых отображений. Метод последовательных отображений.
• 19. Линейные, нормированные, банаховы и гильбертовы пространства. Сильная и слабая сходимость.
• 20. Задача о наилучшем приближении элементами выпуклого множества или подпространства. Минимальное свойства коэффициентов Фурье.
• 21. Непрерывные линейные операторы. Норма и спектральный радиус оператора. Сходимость операторов. Обратимость.
• 22. Ряд Неймана и условия его сходимости. Теоремы о существовании обратного оператора.
• 23. Линейные функционалы. Сопряженное пространство. Принцип равномерной ограниченности.
• 24. Теорема Банаха-Штейнгауза, её приложения.
• 25. Теорема Рисса (для гильбертова пространства). Сопряженные, самосопряженные, симметричные, положительно определенные, вполне непрерывные операторы и их свойства.
• 26. Свойства собственных значений и собственных функций линейного вполне непрерывного оператора.
• 27. Квадратичные функционалы и обобщенные решения операторных уравнений

Рекомендуемая литература:

• 1) Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –М.: Физматлит, 2006. –570 с.
• 2) Тихонов А. Н. Уравнения математической физики : учебник для студ. физ.-мат. специальностей ун-тов / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский ; Моск. гос. ун-т им. М.В. Ломоносова .—7-е изд. —М. : Изд-во Моск. ун-та : Наука, 2004 .—798 с.
• 3) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для студ. физ. и мех.-мат. специальностей вузов / Г.М. Фихтенгольц .—М. : Физматлит, 2006-. Т. 1 .—Изд. 8-е .—2006 .—679 с
• 4) Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для студ. физ. и мех.-мат. специальностей вузов : в 3 т. / Г.М. Фихтенгольц .—М. : Физматлит, 2005. Т. 3 .—Изд. 8-е .—2005.—727 с.
• 5) Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
• 6) Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. М.: Наука, 1977.
• 7) Беклемишев Д.В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.
• 8) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М., Высшая школа, 1981, т.I.
• 9) Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. М., Высшая школа, 1981, т.II.
• 10) Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М., Физматиз, 1965.
• 11) Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука,
• 1983.
• 12) Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.
• 13) Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.