Извлечь квадратный корень из комплексного числа

Найдём квадратный корень $x+yi$ из комплексного числа $a+bi$ ($a,\ b,\ x,\ y\in \mathbb{R}$):
$$
\sqrt{a+bi}=\pm(x+yi).
$$

Будем рассматривать случай, когда $b\neq 0$.

Возведём обе части последнего равенства в квадрат:
$$
a+bi=x^2+2xyi+(yi)^2.
$$
Запишем компоненты этого уравнения в виде системы:
$$
\begin{cases}
x^2-y^2=a\\
2xy=b
\end{cases}
$$
$y\neq 0$ и $x\neq 0$, так как иначе было бы $b=0$.
Выразим из второго уравнения $y$ и подставим в первое:
$y = \frac{b}{2x}$.
$$
x^2-\frac{b^2}{4x^2}=a.
$$
Умножим обе части последнего равенства на $x^2$. Получим уравнение четвёртой степени
$$
(x^2)^2-ax^2-\frac{b^2}{4}=0.
$$
Такое уравнение имеет положительное решение
$$
x^2=\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}.
$$
$$
\begin{cases}
x=\pm\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2+b^2}}{2}}\\
y=\frac{b}{2x}
\end{cases}
$$
Рассмотрим один пример.
Найти квадратный корень из $-8i$.
Подставляем в формулы $a=0$, $b=-8$.
$x=\pm2$,
$y=\frac{-8}{(\pm2)2}$.

Получаем два корня: $2-2i$, $-2+2i$.