Поле - определение

Множество $F$ с введёнными на нём двумя алгебраическими операциями:

1. сложения $+$ (где $+: F\times F\to F$)
2. и умножения $*$ (где $*: F\times F\to F$)

( т.е. $F$ замкуто относительно обеих операций), называется полем $\left\langle F,+,*\right\rangle$, если выполнены следующие аксиомы:

1. Коммутативность сложения: $ \forall a,b\in F\quad a+b=b+a $.
2. Ассоциативность сложения: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)+c=a+(b+c)$.
3. Существование нулевого элемента: $\exists \boldsymbol{0}\in F\colon \forall a\in F\quad a+\boldsymbol{0}=a$.
4. Существование противоположного элемента: $\forall a\in F\;\exists (-a)\in F \colon a+(-a)=\boldsymbol{0}$.
5. Коммутативность умножения: $\forall a,b\in F\quad a*b=b*a$.
6. Ассоциативность умножения: $\forall a,b,c\in F\quad (a*b)*c=a*(b*c)$.
7. Существование единичного элемента: $\exists e\in F\colon \forall a\in F\quad a*e=a $.
8. Существование обратного элемента для ненулевых элементов: $(\forall a\in F\colon a\neq \boldsymbol{0})\;\exists a^{-1}\in F \colon a*a^{-1}=e$.
9. Дистрибутивность умножения относительно сложения: $\forall a,b,c\in F\quad (a+b)*c=a*c+b*c$.

ПРИМЕЧАНИЕ: В приведённом выше определении:

• Аксиомы 1—4 соответствуют определению коммутативной группы по сложению $+$ над множеством $F$,
• аксимомы 5—8 соответствуют определению коммутативной группы по умножению $*$ над множеством $F\setminus \{\boldsymbol{0}\}$,
• а аксиома 9 связывает операции сложения и умножения дистрибутивным законом.