Квадратичная форма - определение

Primary tabs

vedro-compota's picture
Submitted by vedro-compota on Wed, 11/18/2015 - 22:19

Forums:

Пусть $\,L$ есть векторное пространство над полем $\,K$ и $e_1,e_2,\dots,e_n$ — базис в $\,L$.
Тогда функция $Q : L \to K$ называется квадратичной формой,
если её можно представить в виде:
$$Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,$$
где $x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n$ (разложение по базису), а $\,a_{ij}$ — некоторые элементы поля $K$, а $x_i, x_j$ выбираются из набора $x_1....x_n$ (коэффициентов разложения вектора $x$ по базису $e_1,e_2,\dots,e_n$)


[источник]

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 19614 reads
vedro-compota's picture

vedro-compota

Wed, 11/18/2015 - 22:22

правильно ли я понимаю, что в определение выше надо дописать, что:
$x = x_i * x_j$
?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Thu, 11/19/2015 - 13:43

$x = x_i * x_j$

Что здесь означает эта звёздочка?

vedro-compota's picture

vedro-compota

Thu, 11/19/2015 - 14:48

Что здесь означает эта звёздочка?

умножение...но я понял что это неверно по вашем следующему комментарию)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Thu, 11/19/2015 - 13:51

$$
Q(x)=\begin{pmatrix} x_1 && x_2 && \ldots && x_n \end{pmatrix}\begin {pmatrix} a_{11} && a_{12} && \ldots && a_{1n} \\ a_{21} && a_{22} && \ldots && a_{2n} \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
a_{n1} && a_{n2} && \ldots && a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix}.
$$

vedro-compota's picture

vedro-compota

Thu, 11/19/2015 - 16:54

всё равно как-то непонятно - как именно выражается $x$ через $x_i$ и $x_j$....

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Thu, 11/19/2015 - 17:11

$x$ --- элемент $L$.
$x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n.$
$x_i$ --- коэффициенты при разложении вектора $x$ по базису $\{e_j\}$.

Пусть $ L$ --- линейное пространство над полем $K$. И пусть $\{e_1,\ e_2,\ ...,\ e_n\}$ --- базис в $L$.
Пусть $H:L\times L\to K$ --- билинейное отображение.
Пусть $x,y\in L$. $x=x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n$ и
$y=y_1 e_1+y_2 e_2+\cdots+y_n e_n.$

$$
H(x,y)=H(x_1 e_1+x_2 e_2+\cdots+x_n e_n, y_1 e_1+y_2 e_2+\cdots+y_n e_n)=
$$
$$
=x_1 y_1 H(e_1,e_1) + x_2 y_1 H(e_2, e_1) + \cdots + x_{n-1}y_n H(e_{n-1},e_n) + x_n y_n H(e_n, e_n)=
$$
$$
=\sum_{i,j=1}^{n} x_i y_j H(e_i, e_j).
$$
Получается, чтобы задать конкретное билинейное отображение $H:L\times L\to K$,
достаточно задать множество значений этого отображения на всевозможных парах базисных векторов $H(e_i, e_j)$.

Теперь мы можем определить квадратичную форму $Q(x)=H(x,x)$.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Mon, 11/23/2015 - 22:50

В определении выше имеем отображение $Q : L \to K$, а вы, math2, приводите ситуацию с отображением пары элементов из $L$ (где берётся набор декартова произведения таких пар) в $K$ - то есть $H:L\times L\to K$ - и это случае ясно откуда взялся коэффициент $j$.

Правильно ли я понимаю (опираясь на ваш комментарий), что в определении квадратичной формы, данном выше, речь идёт о:

  1. возможности заменены некоторой функции одного аргумента Q(x) некоторой функцией двух аргументов H(x_i,x_j) из того же пространства,
  2. где все аргументы: $x, x_i, x_j \in L$, а значения обеих фукций $\in K$
  3. Причем, ф-я двух аргументов зависит от них следующим образом: $Q(x)=\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j,$, где $a_{ij} \in K$, а "получаются" данные коэффициенты таким образом.

?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Tue, 11/24/2015 - 10:07

Если у нас есть квадратичная форма
$$
Q(x)=\begin{pmatrix} x_1 && x_2 && \ldots && x_n \end{pmatrix}\begin {pmatrix} a_{11} && a_{12} && \ldots && a_{1n} \\ a_{21} && a_{22} && \ldots && a_{2n} \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
a_{n1} && a_{n2} && \ldots && a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{pmatrix},
$$
то мы можем использовать её матрицу для билинейного отображения
$$
H(x,y)=\begin{pmatrix} x_1 && x_2 && \ldots && x_n \end{pmatrix}\begin {pmatrix} a_{11} && a_{12} && \ldots && a_{1n} \\ a_{21} && a_{22} && \ldots && a_{2n} \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
a_{n1} && a_{n2} && \ldots && a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}.
$$

vedro-compota's picture

vedro-compota

Tue, 11/24/2015 - 13:25

матрицы умножаем по этому правилу, сначала две левые между собой :
$$
\begin{pmatrix} x_1 && x_2 && \ldots && x_n \end{pmatrix}\begin {pmatrix} a_{11} && a_{12} && \ldots && a_{1n} \\ a_{21} && a_{22} && \ldots && a_{2n} \\
\vdots && \vdots && \ddots && \vdots \\
a_{n1} && a_{n2} && \ldots && a_{nn} \end{pmatrix}
$$
а потом результат на самую правую :
$$\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{pmatrix}$$
да?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Wed, 11/25/2015 - 12:21

Умножение матриц ассоциативно. Можно в любом порядке умножать.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Wed, 11/25/2015 - 12:25

точно. Спасибо)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

math2

Tue, 11/24/2015 - 09:59

где все аргументы: $x, x_i, x_j \in L$

Это неверно.
$x\in L.$
$x_i,x_j\in K$.
$x_i$ и $x_j$ --- элементы поля $K$. Это коэффициенты разложения вектора $x\in L$ по базису $\{e_1,\ e_2, \ ...,\ e_n\}\subset L$.

Квадратичная форма --- это однородный полином степени 2 от переменных $x_1,\ x_2,\ ...,\ x_n$ с коэффициентами из $K$.

vedro-compota's picture

vedro-compota

Fri, 11/27/2015 - 09:15

вот что добавил к определению:

...а $x_i, x_j$ выбираются из набора $x_1....x_n$ (коэффициентов разложения вектора $x$ по базису $e_1,e_2,\dots,e_n$)

теперь понятно откуда эти $x_i, x_j$ =)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)