Уточненение 2: - среди элементов не может быть двух равных - Подстановка является (может быть представлена) циклом

Из текста доказательства теоремы:

Пусть
$$
A=\begin{pmatrix}
1 && 2 && ... && n \\
a_1 && a_2 && ... && a_n
\end{pmatrix}.
$$
Подстановка $A$ является элементом [конечного порядка] [конечной] симметрической группы $\mathfrak{S}_n$.
Отсюда получаем, что
$$
\{h\in\mathbb{N} \ | \ A^h(1)=1\}\neq\emptyset.
$$
Пусть $k$ --- наименьшее число из этого множества (это может быть и 1).
Можно доказать,[докажем это ниже] что среди элементов $1,\ A(1),\ A^2(1),\ ...,\ A^{k-1}(1)$ не может быть двух равных....
будет циклом.

Итак докажем, что:

среди элементов $1,\ A(1),\ A^2(1),\ ...,\ A^{k-1}(1)$ не может быть двух равных.

Доказательство:

Выберем некоторые коэффициенты: $0 \lt n < m \leq (k-1) \in \mathbb{N}$ и предположим, что верно обратное (относительно утверждения выше):
$A^n(1) = A^m(1) $тогда:
$A^0(1) = A^{m - n}(1) $
$ 1 = A^{m - n}(1) $
- здесь $(m - n) < k$, т.к. $m < k$.
Мы получили что:
$A^{m-n}(1) = A^{k}(1) = 1 $
Таким образом мы пришли к противоречию - нашли число меньше чем $k$ :
$0 \lt d = m -n < k $, такое что:
$A^d(1) = 1 $
Это противоречие показывает, что равных среди чисел:
$$1,\ A(1),\ A^2(1),\ ...,\ A^{k-1}(1)$$
нет. То есть утверждение доказано.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

Осталась ещё одна тема.

vedro-compota's picture

На ту страницу ссылки из корня не будет - забыл про неё. Сослался оттуда сюда.

_____________
матфак вгу и остальная классика =)