m-членный Цикл и его порядок - Порядок цикла

Рассмотрим $m$-членный цикл $(1, 2, 3, ... m)$, он представляет собой подстановку, увеличивающую каждое кроме $m$ число на единицу, а само $m$ переводящую в единицу, если не учитывать $m$ и другие числа ему кратные (его кратности), то можно записать, что:
$$x \rightarrow x + 1 (mod \; m)$$
в последней формуле использована операция $mod$ (получения остатка от деления на m).

Тогда квадрат данной постановки можно записать как: $x \rightarrow x + 2 (mod \; m)$.
Нетрудно понять, что эта последняя подстановка состоит при нечётном $m$ из одного цикла, а при чётном $m$ из двух циклов.

Чтобы составить этот цикл (или циклы), надо в ряду $1,2,..., m $ брать цифры через одну.
Таким образом:
$(1 \; 2\; 3\; 4\; 5)^2 = (1\; 3\; 5\; 2\; 4)$ - $m$ нечетное
$(1 \;2 \;3\; 4 \;5 \;6)^2 = (1 \;3 \;5) (2 \;4\; 6)$. - $m$ четное
Куб цикла $(1, 2,..., m)$ есть подстановка $x \rightarrow x+3 (mod \; m)$, то есть в циклах этой подстановки надо брать цифры из ряда $1, 2, ..., m$ через две и т. д.

Какие степени $m$-членного цикла дадут тождественную подстановку, то есть будут оставлять все цифры $1, 2,...m$ на месте? Так как $n$-ая степень цикла $(1 \; 2\;...\;m)$ переводит $x$ в $x + n$, причем кратности числа $m$ отбрасываются, то для этого необходимо и достаточно, чтобы $n$ делилось на $m$. Таким образом порядок $m$-членного цикла (т. е. наименьшая положительная степень $m$-членного цикла), дающий тождественную, подстановку равен $m$.