Теорема 6. Системы $ \mathfrak{H}A_i $ содержат при всяком $ A_i $ одно и то же число элементов (равное порядку группы...

Пусть $ \mathfrak{G}=A_1+A_2+ \ldots +A_n $ есть группа, $ \mathfrak{H} $ - ее подгруппа. Совокупности типа $ \mathfrak{H}A_i $ называются сопряженными системами (смежными классами). Имеет место

Теорема 6. Системы $ \mathfrak{H}A_i $ содержат при всяком $ A_i $ одно и то же число элементов (равное порядку группы $ \mathfrak{H} $). Две системы $ \mathfrak{H}A_i $ и $\mathfrak{H}A_k $ или совпадают, или не содержат общих элементов.

Доказательство.
$ 1^0 $. Чтобы доказать, что числа элементов совокупностей $ \mathfrak{H} $ и $ \mathfrak{H}A_i $ одинаковы, достаточно показать, что среди элементов
$$ \mathfrak{H}A_i=A_i+B_2A_i+ \ldots +B_mA_i $$

где $ \mathfrak{H}=J+B_2+ \ldots +B_m $, не встречается одинаковых. Допуская, например, что имеет место
$ B_rA_i=B_sA_i $ при $ r\neq s $, и умножая это равенство справа на $A_i^{-1} $, мы получим $ B_r=B_s $, что невозможно, так как все элементы $ J+B_2+ \ldots +B_m $ различны.

$ 2^0 $. Предположим, что $ \mathfrak{H}A_i $ и $ \mathfrak{H}A_k $ имеют общий элемент $ B_rA_i=B_sA_k $.
Тогда, умножая равенство слева на $B_s^{-1} $, получим:

$$ A_k=B_s^{-1}B_rA_i$$

Возьмем произвольный элемент $ B_iA_k $ системы $\mathfrak{H}A_k $. В силу $ A_k=B_s^{-1}B_rA_i$ он равен $ B_iB_s^{-1}B_rA_i $.
Но так как $ B_iB_s^{-1}B_r $ есть элемент группы $\mathfrak{H}$, то $ B_iA_k $ есть элемент системы $ \mathfrak{H}A_i $.

Подобным же образом мы покажем, что всякий элемент системы $ \mathfrak{H}A_i$ содержится в $\mathfrak{H}A_k $ - снова возьмём равенство $ B_rA_i=B_sA_k $, но теперь умножим его слева на $B_r^{-1} $, получим:
$$ A_i=B_r^{-1}B_sA_k$$
Возьмем произвольный элемент $ B_jA_i $ системы $\mathfrak{H}A_i $, из последнего равенства следует, что $ B_jA_i = B_jB_k^{-1}B_sA_k$ - но тогда это одновременно и элемент системы $\mathfrak{H}A_k$.

Таким образом мы показали (выбирая произвольный элемент), что $ \mathfrak{H}A_i =\mathfrak{H}A_k $ (совпадают), в случае если у них есть хотя бы один общий элемент.