Композиции циклов (транспозиций), действия цикла на перестановку - пример

Рассмотрим здесь небольшой пример (в частности, как иллюстрацию к представлению циклов в виде композиции транспозиций).

Рассмотрим в качестве исходной перестановку $\{1, 2, 3\}$. Сначала подействуем на неё циклом $(123)$, такое действие эквивалентно действию подстановки:
$\begin{matrix}
1&2&3\\
2&3&1
\end{matrix} $
Теперь рассмотрим утверждение о том, что цикл $(123)$ можно представить в виде композиции транспозиций:
$$ (123)=(12)(13)$$
Проверим данное утверждение, действуя на перестановку $\{1, 2, 3\}$ сначала циклом $(12)$, а затем циклом $(13)$ на результат от действия $(12)$ (что и будет композицией этих циклов, так как транспозиция как и любая подстановка тоже представима в виде циклов). Получим:
$\{1, 2, 3\} (12) = \{2, 1, 3\} $
$\{2, 1, 3\} (13) = \{2, 3, 1\} $
Как видим, мы пришли к тому же самому результату.