Собственный вектор, собственное значение - определение

Собственный вектор — понятие в линейной алгебре, определяемое для квадратной матрицы или произвольного линейного преобразования как вектор, умножение матрицы на который или применение к которому преобразования даёт коллинеарный вектор — тот же вектор, умноженный на некоторое скалярное значение, называемое собственным числом (собственных значением) матрицы или линейного преобразования.

Алгоритм вычисления собственного значения для матрицы

Если задана $ n \times n$ квадратная матрица $A$ над вещественными или комплексными числами, собственное значение $\lambda$ и соответствующий ему корневой вектор $v$ — это пара, удовлетворяющая равенству:
$$ (A -\lambda E)^k v = 0 $$

где:

  • $v$ - ненулевой $ n \times 1$ вектор-столбец,
  • $E$ - единичная матрица $ n \times n$
  • $k$ — положительное целое число,
  • $\lambda$ и $v$ могут быть комплексными, даже если $A$ вещественна.

Если $k = 1$, вектор $v$ просто называется собственным вектором. В этом случае:
$$ A v = \lambda v $$

Источники: