Лекция 16

Лекция 16
29-02-2016

В тот раз мы говорили об истории и о Канте (из личностей). Сегодня же перейдём непосредственно к философии математики.

Этой философией занимаются не только философы, но и во многом математики.

Но ещё раз уточним – чем занимается философия?

Некоторые неучи считают, что философы занимаются непонятно чем. Но иногда и экономисты занимаются непонятно, да и физики (за рубежом в том числе) измудряются получить гранты за псевдо-статьи.

Существует круг проблем. Для которых нет точных методов исследований. Это связано с существованием реальным проблем в реальной жизни, это связано с политической жизнью – нужно ли поднимать налоги для богатых? Но что важнее – свобода или равенство, ведь это принципы вроде друг другу противоречат.

В этике это вопросы, связанные со всем что касается государства и насилия – наказаний и пеницииарной системы, смертная казни - нужна она или нет.
Этика – очень широкая область, например допустимость эвтаназии - это совсем конкретный вопрос, но бывают и более общие вопросы , например – какими принципами мы руководствуемся в жизни?

Есть также теоретическая философия – большую, изрядную часть тут занимает философия науки – здесь три вопроса:
1) Вопрос онтологии – проблема бытия- что за объекты существуют, на что они похожи и т.д. – существуют ли эти объекты вообще. То есть вопросы онтологии связаны с характером существующих вещей. В математике например можно спросить – что такое число. Вариантов ответа будет много, и про многие нельзя будет сказать, что он очевидно неправилен. Непонятно – это понятие придумал человек, или это абстракция, а существует ли абстракция сама по себе??...и т.д. Подобные вопросы можно задавать и в физике.
2) Эпистемология (гносеология) – вопрос познания, того как мы вообще узнаем истины в данной предметной области? Здесь имеет место вопрос о научном методе. Здесь могут утверждать, что математика опирается на дедуктивный метод и т.д. Например есть раздел типа Интуиционистской математики. Но тут в математике есть вопрос – как можно конкретным мозгом постичь абстрактные сущности, с другой стороны если нет ничего абстрактного – как же тогда в разных мозгах возникает одна и та же математика?

Вообще есть философы-скептики, которые не верят в существование объективного мира. Есть и люди, которые пытаются опровергнуть скептицизм – не у всех это получается.

Итак мы сказали о философии теоретической и практической. Теоретическую философию проще отбросить – можно заниматься математикой не особенно изучая вопрос «что такое числа». Есть разделы математики, где есть очень близко приближаются к философии – например, теория множеств.

В каких-то областях математики может и можно не обращать внимание на философию, но в целом математика не может обойтись без неё.

Мы знаем, что все что есть сегодня помимо философии – когда-то выросло из философии.
Например физика отделилась от философии во времена Галилея (Новое Время), потом эти принципы начинают развивать – Ньютон, там добавляют математику и получается новая область знания – физика.

Сначала были математики – Тьюринг, Черч, они занимались изучением формальных систем,и в том числе уточняли понятие алгоритма. Они были математиками – компьютерные науки фактически выделяются из философии математики.

Если мы посмотрим любую область знаний – мы обнаружим, условно говоря, философа, который размышлял, а потом стали использовать некий набор точных методов, и выделил из философии новую науку.

Ещё более поздний пример – когнитивная наука – принципов развития мозга, то что в конечном итоге связано с созданием искусственного интеллекта, точнее создание ИИ – это одна из проблем когнитивной науки.

Таким образом у нас есть три функции философия:

  • 1) Практическая философия
  • 2) Теоретическая философия
  • 3) Исследования на стыке с философией – откуда, возможно появятся новые разделы науки

Третий вопрос: семантика – что считать в этом разделе истиной, как объяснить что есть общий набор положений, который понятен всем людям. Семантика не так заметна как онтологии и эпистемология (первые два вопроса).

Вопросы семантики могут создавать дополнительные трудности, если вы верите что в этой области существуют объективные вещи, то вопрос семантики можно не учитывать в принципе, но в математике не очень понятно даже что такое числа. А потому семантика здесь очень важна.

Обычно по всем трём позициям существует набор позиций:
1) Реалисты – в математике верят, что есть какого-то вида математические объекты, например, числа.

Это была общая ориентация в области философии, которую мы рассматриваем.

ОБЗОР МНЕНИЙ

Итак, мы имеем комплекс вопросов про предметную область математики отчетливо встал во второй половине 19 века. Не ясно почему именно в это время развернулась эта дискуссия. Понятно, что были некие работы, которые послужили предпосылками, но тем не менее ответить однозначно на данный вопрос нельзя.
Но стандартный ответ есть – просто указывают на усложнение математики - указывают на теорию Галуа, работы Абеля. А второй аспект усложнения – неевклидова геометрия. Появился другой набор аксиом, всё пошатнулось – появились равные альтернативные системы.

То есть возникают новые понятие и связанные с ними теории – происходит это в середине 19 века (начинается). Математики стали пытаться отвечать на эти вопросы – и многие до сих пор считают эту идею правильной. То есть указывали, что одни матем. объекты можно сконструировать из других, например группа строится из множества и т.д.

То есть берутся объекты с нижнего уровня, увидели некую особенность и стали интересовать только ею.
Многие стали сразу же интересоваться числами. Только во второй половине 19 века заметили, что иррациональные числа можно выразить через рациональные.

Самый известный пример – сечение Дедекинда – (способ введения вещественных чисел – рац. И иррац. На числовой прямой её сечением). Рациональные можно выразить через целые, а целые через натуральные. А что такое натуральные?

Кантор (основоположенник теории множеств) и Готлоб Фреге (основоположенник современной логики) – оба считали числа это множества.

Кантор пришёл к тому, что бесконечности бывают разные - то чем он занимался, называется наивной теорией множеств. Но после его работ появилась современная теория множеств, в которой парадоксы устраняются, но с помощью подбора аксиомы.

ad hoc
– подгон, защита теории – когда просто вводят дополнительные оговорки, которые позволяют избежать трудностей – противоречий в теории. Блокирование происходит на уровне постулатов-аксиом.

Минус в том, что вы не застрахованы от того, что снова придётся подгонять теорию, когда вылезут новые неудобные факты.

Есть кардинальные числа, а есть ординальные – то есть количество и порядок.
Мощность множества – это кардинальное число. Если мы хотим свести числа к множествам нам нужны кардиналы. Можно сказать, что кардиналы – это есть числа. А ординалы вводятся как показатель вложенности (пустого мн-ва) – в иерархии Фон Неймана:
$\{...\{\{\emptyset \}\}…\}$

Фреге пытался объяснить сами множества – он решил пойти на шаг дальше. Он думал, что множества возникают, когда мы начинаем размышлять о понятиях – ведь понятие всегда применяются к некоему набору объектов. То есть логики изучает понятия. Понятия имеют экстенсионал (мн-во предметов, к которому понятие применимо).
Итенсионал – это типа «содержание». Это более современная трактовка пары «форма-содержание». Понятие опреедляются одно через другое, но есть некоторые базовые понятия - а какова их природа?

Интенсионал можно определять как некое правило. Это работает обычно тогда когда мы размышляем не только о реальном мире но и о возможных мирах…..есть такая вещь – модальная логика – там изучается возможность и необходимость. Интесионал – взяли какой-то возможный мир и получили мн-во пар из того мира, оно может быть пустым.

Таким образом интенсионал – это правило выбора объектов в какой-либо ситуации, идея, понятие объекта.

У Фредди была мощная конструкция он пытался объяснить множества через понятия. Математика по Фредии вообще выводится из понятий.

В наивной теории множеств множества могут быть элементами сами себя. Буквально за 5 лет открыли несколько парадоксов – в конце 19 века.

Парадокс Рассела: у нас есть множества, элементами которых не являются множеством. Например множество парт. НО некоторые можества содержат в качестве своих элементов само себя. НО тогда можно построить множество множеств, не являющихся собственными элементами:
$R=\{x: x \notin x}$

Тогда появляется вопрос – входит ли это множество само в себя? Тут появляется противоречие.
Кантор сам открыл парадокс….до этого был парадокс Бура-Лефорти. А Кантор открыл парадокс про «самое большое множество» - оказалось что число его подмножеств превосходит его мощностью (по другой теореме Кантора).

Парадок Рассела
точнее:

Пусть K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента. Содержит ли K само себя в качестве элемента? Если предположить, что содержит, то мы получаем противоречие с "Не содержат себя в качестве своего элемента". Если предположить, что K не содержит себя как элемент, то вновь возникает противоречие, ведь K — множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве своего элемента, а значит должно содержать все возможные элементы, включая и себя.

Это был первый этап философии математики – наивная теория множеств Кантора и Фреди.

Где-то в 21 веке появляется новый поход (самый последний) – но его мы изучать не будем.
Была аксиоматизирована теория множеств, ввели аксиомы, которые блокируют все известные парадоксы? А что есть есть некий неизвестный парадокс?

Затем Рассел строит т.н. «теорию типов» -- там тоже строится теория, имеющая запреты. Затем появляется мощное направление – формализм (под предводительством Гильберта) – там была идея что математику не надо пытаться выводить из множеств, он считал, что математика просто изучает формальные системы. То есть фактически теоремы из логики были открыты в «школе Гильберта», но тем не менее логицизмом называют сведения математики к теории множеств.

В формализме все нормально - объективных истин не существуют, неевклидова геометрия "не удивляет". То есть математика воспринималась как работа с символами, игра. НО оказывалась, что какие-то системы применимы на практике – но почему так было, он не знал.
Но судьба тяжёлая постигла школу Гильберта – были открыты теоремы Геделя.

Как Фреги вводил числа из множеств?

Он просто относил к одному классу множетсва, которые можно было сопоставить один к одному.

Ну и в каком-то классе оказывались множества «по два элемента», «по три» и т.д.

Теорема Геделя похоронила программу Гильберта.

Гильберт рассматривал математику как формальную штуку – осталось просто выяснить – является ли данная система непротиворечивой. Это называется проблемой разрешимости. Проблема разрешимости Гильберта фактически привела к современным компьютерам.

Теорема Геделя – состоит из двух теорем

  • 1) Если в системе есть арифметика, то там будет положение, которое нельзя ни подтвердить ни опровергнуть. ТО есть там будут какие-то истины которые в рамках это формальной системы не выведешь.
  • 2) Оказалось, что в рамках такой системы вообще нельзя доказать её непротиворечивость.

ТО есть придётся бесконечно погружать одну систему в другую. Это прекрасно применимо к нынешней ситуации с математикой - мы можем доказать арифметику Пеано через теорию множеств. Но не можем доказать непротиворечивость теории множеств саму через себя.

Ещё в начале 20 века появилась школа Интуиционизма – она предлагает вообще пересмотреть сами методологические признаки.
Ультрафинитисты запрещают работать с бесконечными построениями.

Идя философии тут такова – числа у нас в голове мы сами их придумали. а в голове бесконечные ряды мы не можем построить – а потому нечего о них и говорить, и такие «бесконечные» приёмы в док-вах использовать нельзя.

Основополжник интуиционизма – Брауэр. Это типичный пример, когда берут философию и дальше строят на ней конкретную математику.

Некоторые вещи из интуиционизме стали брать в другие разделы – например, теорию типов стали использовать в современной теории категорий.
Теория категорий появилась во второй половине 20-ого века.

Интуиционизм один из ярких примеров, где не понятно - где граница между философией и математикой.

Далее во второй половине 20 века – помимо вопроса сведения одних систем к другим системам, появились отдельные дискуссии связанные с онтологией и эпистемологией математикой. Какие у нас есть основания считать, что существуют некие объективные математические истины? Но этими вопросами больше занимались философы (онтология - теория познания)

Наш план далее такой:
1) Теория множеств
2) Наивная теория
3) Гипотеза континуума

А затем основные 3 школы:
1) Логицизм (Фредди и его последователи) – сегодня акуален неологизим – где аксимы Фредии подправили
2) Интуиционизм
3) Фромализм
4) Онтология теории познания – что такое математические объекты и как мы их познаём.

Функциональное программирование связно с теорией категорий.
Конценсус философов – например оч. Многие считают что закон сохранения энегрии должен всегда выполняться (проблема существование души и тела как разных объектов)

Бомовская механика – альтернатива Копенгагенской теории (которую излагает Кравец) – тут теория пилотной волны де Бройля.

Интерпретация с ветвящимися мирами - ещё одна трактовка квантовой механики (читай Шона Кэллора).