Лекция 18 - ЛОГИКА

Лекция 18
28-03-2016
ЛОГИКА
Логика начала математизировать в 19 веке. Например Буль ввел конъюнкцию и дизъюнкцию и определил их с помощью таблицы истинности.
Основоположенник силлогистики – Аристотель (логика высказываний).
В логике высказываний («пропозициональная логика»): состоит из :
1) Пропорциональных параметров $A, B, C$
2) Логические операции ($ \rightarrow , \&,… $ и т.д.)
3) «Скобки»

Например: $(A \rightarrow B) \rightarrow (B \& C) $ -- пример выражения логики высказывания.

Каждая буква обозначает целую пропозицию (= «суждение»). Пропозиция – это общий смысл выражения (предложения), например «Вася строит дом», «дом строится Васей»

Каждую из операций можно ввести с помощью таблицы истинности.

Классическая логика – как раз там операции определяются с помощью таблиц истинности.
Одну операцию можно определить из другой (например коньюнкцию через дизъюнкию и операцию отрицания).

Дедукция - «что следует из чего». Классическая логика – дедуктивна. Т.е. когда истинность посылок исключает ложность следствия.

ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
Занимается, что тем что, уточняет структуру отдельных атомарных форм. В логике предикатов появляются переменные, константы, которые обозначают объекты. Предикаты обозначают некие отношения между этими объектами. То есть мы имеем расширение логики высказываний.
Возьмем силлогизм: «Все математики умные, Вася математик, значит Вася умный». (пример силлогизма).
Логика высказываний удобна для первого знакомства с логикой. Но в действительность нужна более детальная формализация наших пропозиций.
Пример записи силлогизма в общем виде:
Все $S$ есть $P$
$a$ есть $S$
Тогда $a$ есть $P$
Фреги – архитипический логицист, математик.

Готлоб Фреге (1848-1925) жил в Германии, работал на математическом факультете (в 19 веке). Старался показать каким образом математика следует из логики. Одна из его работ содержала первый вариант (в ситории) логики предикатов – там были константы, кванторы, предикаты, отрицание и импликация.
Фреги всё записывал в столбик.
Запись выражения в логики предикатов $\forall x (P_x \rightarrow Q_x)$ - «для всех икс: если есть P то есть Q» - так вот Фреги писал не так, а записывал всё в столбик.
Работа называлась «Запись понятий» 1879 год. Сегодня же используется т.н. «нотация Рассела» (для записи).
Главная мысль Фреги (некоторые считают его отцом современной философии в той её части, которая стремится к строгости) состоит в том, что всё что мы делаем «должно быть без двусмысленности». Его идея: «логика изучает понятия, значит понятие числа можно вывести зи понятия – ну для начала вывести натуральные числа, а всё остальное через них».

Заметьте что на деле Фреги сначала вводил множества («пробег значений»).
В 1984 году написал небольшую монографию программного характера «Основоположения арифметики», где изложил свою стратегию. А затем стал писать фундаментальный труд, где решил вывести всю арифметику – т.е. аксиомы Пеано. Работу назвал «Основные законы арифметики » - первый том в 1981 году, второй том 1903 – когда том был уже в печати Рассел прислал ему письмо («парадокс Рассела»), где указал, что в системе аксиом есть противоречие, Фреги написал послесловие к этому тому, где указал о данном противоречии, исправить его он не смог. Затем написал ещё несколько статей по философии в 1925 году.

Затем Рассел с ещё одним философом Уаххером (случай, когда философ занялся математикой) написали на латыни трехтомник «Основания математики». Ещё до этого Рассел написал так называемую «Теорию типов».

В 1960-е годы смогли способы обойти проблему.
Теория типов существуют в двух видах - простая и разветвлённая. Не все считают, что теория типов – это чистая логика. Тогда получается, что теория типов просто выоплняет «эд хок».
Неологицисты – пытаются возродить программа Фреги, заменив «проблемную» аксиому 5 на что-то более подходящее.
Теорема Геделя была применима и к системе Рассела.

Чего хочет Фреги

Логика изучает понятие. Все объекты бывают двух типов:
1) Вещи
2) Функции – самостоятельного типа абстрактные объекты, которые позволяют сопостовлять вещи между собой.
Фреги также активно спорил со всякими сторонниками того, кто считал . что математика это что-то чуть ли не из опыта. По Фреги существуют царство абстракты понятий – объективное.
Разница между абстрактным и идеальным.
Абстрактное – нигде не находится, причинно следственные связи не касаются его.
Идеальное – может вытекать из чего-то но не материально, например «чувство боли»

Вернёмся к Фреги.
Понятия - вид функций (те функции что на выходе дают истину или лож, пропозиции, которые дают на выходи истину или ложь).
Фреги говорит, что бывают естественные языки – типа русского или английского – но это странные двусмысленные языки.
Есть имена и неполные символы (типа $Q_x$) – на место неполных символов можно подставить имена.
Неполный символ «быть математиком» - подставим символ «Вася» получили «Вася математик». Т.е. неплный символ – это понятие.

НО бывают и пропозициональные функции – которые не являются понятиями. Например «Отец Васи» - подставялем Васю и получаем объекта (чела какого-то то), а не истину или ложь.
Далее Фреги предполагает что можно строить понятия следующих понятий, например кванторы он определяет как понятие второго порядка. Также он определяет термин «подпадать» - т.е. это когда аргумент, подставленный в функцию приводит к получению истинного значения.
Можно сказать что квантор существования - это понятие. обозначающее те понятия, под которые подпадает хотя бы один объект.
Далее – с любой функцией связан т.н. «пробег значений» - это мн-во объектов, которое можно получить при подставлении имен в данный неполный символ. Когда мы приходим к понятию «пробега значений» для понятия (напр. «быть математиком») мы получаем как раз множество.
Так мы можем сказать, что некий набор объектов (Вася и другие математики) образуют экстенсионал (современное слово, Фреги его не использует, а использует «пробег значений») понятия («быть математиком»).
Среди аксиом описывающих пробег значений есть т.н. «основной закон 5», который записывает ситуацию тождественности:
$e A = e B$, если $\forall x (A_x \Leftrightarrow B_x)$ - где e – экстенсионал
Сначала он возражал (в ответ на письма Рассела), что понятие не применяются к понятиям, а применяются к объектам.

$R(x)^$ понятие такое что : $\exists P (x = e P \& not P(x))$ -- это экстенсионал Рассела.
«Построим множество тех множеств, которые не являются собственным элементов» -- парадоксальное предположение Рассела
Классический вариант мн-ва Рассела: $R(x): \{ x \notin x \}$
Допустим ,что это множество элемент самого себя, но по определению этого нельзя.
Но пусть оно не является элемент самого себя, но тогда по определению оно входит само в себя.
Наша задача – ответить на вопрос : как же Фреди пытается вывести числа.
Когда мы ввели множества (думает Фреги) – мы можем сопоставлять их элемент к элементу. Можно сравнивать множества поэлементно – устанавливать т.н. биекцию – взаимо-однозначное соответствие.
Так можно ввести понятие числа просто разбив множество всех множеств на классы по мощности.
Как мы двигались:
1. ввели функции
2. ввели понятия
3. ввели экстенсионалы понятий
4. поняли, что экстенсионалы можно сравнивать поэлементно и таким образом ввели числа.
Таким образом: «число дверей, это множество всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с данным множеством дверей».
Получается, что тождество – это особое понятие. Тогда мы можем определить понятие «быть объектом нетождественным самому себе» - пробег значений такого понятия – пустое множество. Так можно ввести ноль.
Далее нам требуется ввести некий порядок (вывести функцию S() – «следующий за»).
Фрэги вводит понятие «предкового отношения». Возьмём отношение «быть отцом» -если взять какого-нибудь человека, и взять отца, а потом «отца отца» и т.д. – то на выходы мы будем всегда иметь других людей. Предки людей – это люди.
Далее можно определить такое множества, замкнутого, относительно данного отношения. Таким множеств может быть бесконечно много. Все предки Васи – люди. Предки всех организмов - сами организмы. Для чисел, говорит Фрэги, нужно сформулировать такое же отношение.
То есть мы добились что есть бесконечный ряд, где все следующие за первым обладают теми же свойствами. Если Вася человек – то все предки люди. Если Вася жил до 3020 года – то и все предки его жили до этого года и т.д.
Подобная же конструкция работает и у Рассела. Позже Гедель использует теорию типов, где доказывает свою теорему и упрощает её.
Мы можем свести всё к множествам. И пропозиции и объекты можно считать множествами.
В теории типов - нельзя строить множетсва включащие сами себя в качестве элементов собственных множетсва (т.е. нельзя для множеств использовать $\in$ но можно всегда $\subset$).
Так у Рассела нельзя построить «множество всех множеств» – так как оно тогда должно включать себя в качестве собственного элемента (ведь оно само тоже множество).

Затем Рассел построил разветвлённую теорию типов – дабы исключить парадоксы, связанные с предикатами.
Пусть (1): «Предложение (1) ложно». (оно и ложно и истинно). – Рассел называет подобное «непредикативным противоречием».
В классической логики из противоречий следует всё что угодно.
Например «наполеон обладает всеми качествами хорошего полководца» -- тут ссылаются сами на себя.
«быть наименьшим натуральным числом, которые нельзя определить используя менее чем три сотни букв русского языка»….
Простая теория типов не исключает непредикативности. Там можно строить предикаты. Которые предполагают существование предикатов того же самого типа.
Рассел постулирует аксиому сводимости – нужна чтобы, в частности, числа были объектами одного типа. Это довольно искусственная аксиома – и тут Гедель говорит, что имея эту аксиому сводимости можно обойтись только теорией множеств. Затем на базе теории типов было построено лямбда-исчисление.

Философы заброковали разветвлённую теорию типов, ибо она искусственна. Математики и философы разошлись. Многие философы предлагают вернуться к Фреги.
Фреги в одной из работ приводит пример, иллюстрирующий принцип Юма , который позволяет ввести числа напрямую без понятия множеств – говорится, что понятия равночисленны (вводим понятие равночисленны без всяких множеств).
Фреги спрашивает – каким образом задаётся направление? Направление двух линий тождественно, если две эти линии параллельны. НО когда две линии параллельны, мы говорим, что есть такая штука как направление и что у этих двух линий оно одинаково.
Направление ещё абстрактней линии – но тем не менее мы оперируем им.
Пусть есть два понятие выполняющиеся относительно двух объектов $A(x) \LeftRightArrow B(x)$.
- то есть каждый раз когда мы наблюдаем подобное когда подобное выполняется – то есть здесь сопостовляются предикаты с предикатами. – то есть Юм использовал этот принцип – число это «когда вы можете сказать, что этих столько же сколько тех».
В Фреги вводится порядок так «ввели ноль. Далее выбираем то множество, где мощность соответствует (эквивалентно) числу уже построенных элементов».
Фреги добавляет, что сами понятия не зависят от нас и существуют объективно.
Но если вы сомневаетесь, что числа возникают сами по себе, тогда вы вынуждены будете отказаться от логицизма и получить интуиционизм – конструктивную математику.
Матанализ – думали как проанализировать скорость и придумали бесконечно малые величины.
Формалисты – люди которые вообще отрицали априорные определения.
Есть философы ,которые считают что все определения работают лишь в рамках неких систем, и рано или поздно могут быть отброшены. По Фреги же функции, ложь и истина существуют сами по себе – независимо от нас.
Раньше формализм был прибежищем несогласных с логицистами, но сегодня он вообще утратил популярность.
Следующий раз мы поговорим о формализме - «истории одной неудачи».
Книги: Первинова, Рузанова.
Клинин «Введение в метаматематику» - типа тут математика математики.