Лекция 21 - ПЛАТОНИЗМ ПРОТИВ НОМИНОЛИЗМА

18-04-2016
Лекция 20

ПЛАТОНИЗМ ПРОТИВ НОМИНОЛИЗМА

Сегодня у нас будет чисто «философская» (или «более философская») лекция.

Несколько раз мы начинали говорить о том, как нужно относится к математическим объектам – существуют ли они или нет, если существуют то где и т.д.
Платонизм – здесь люди считают, что реально существуют некие мат объекты. Обычно выделяют три критерия, которым должны соответствовать объекты чтобы удовлтворять позиция платонистов:

• 1) Критерий существования - существуют некие объекты, которые изучает математика
• 2) Эти объекты независимы от тех, кто их изучает – они существуют сами по себе
• 3) Абстрактность – т.е. эти объект не имеют местоположения в пространстве, они не участвуют в причинно-следственных связях (число 2 нельзя «бросить в стену»).

Мы рассматривали 3 школы по проблемам основания математики:
1) Логицисты (во главе с Фрегги были Платонистами)
2) Интуиционисты говорят, что числа существуют в сознании (т.е. зависят от нас)
3) Формалисты – не существуют идеальных мат. объектов, они не независимы, не абстрактны. – т.е. тут отрицаются вообще все позиции платонизма.

2 позиции:

• 1) Платонизм («математический реализм»)
• 2) Номиналисты («антиреализм»)

Стандартные философские области:

• 1) Отнология - бытие
• 2) Эпистемостомология (гносеология) –познание
• 3) Семантика -- смысл математических теорий
• 4) Практика – «Что мы видим на практике?»
• 5) «Здравый смысл» -- хотя не все философы серьёзно рассматривают данный аспект – существует дискуссия.

Сравним номинализм и платонизм:
1) Платонизм силён онтологией, а номинализм эпистемологией.

Мы можем формализовать некую теорию, выразив её положения в формулах – там у нас будут использовать кванторы – «онтологическое обязательство». С онтологическим обязательством тесно связано понятие истины. Истина – это то, что не противоречит действительности.

С одной стороны математические теории описывают абстрактные объекты. Но так как такие объекты не существуют, то математика ложна.

Ещё говорят так – на самом деле математика описывает не числа ,а «что-то иное». – например что-то природное. Некие природные законы и т.д.

2) Эпистемология – изучает знания. Здесь платонистам объяснить знание не так легко (хотя с онтологие всё было просто

Чтобы было знание:

• 1) Был факт
• 2) Было некое состояние сознания
• 3) Была связь между двумя пунктами.

Как платонистам объяснить познавательную способность? С номинализмом проблем нет – ведь там все царство математики «выдумывается».

Классический платонизм обычно связывают с Геделем – он говорит «я провожу полную аналогию между естественными науками и математикой….есть такая вещь как математическая интуиция – она как зрение или слух»

Итак, по онтологии и эпистемологии 1:1.

Математическая практика. Здесь многие философы математики отдают победу платонизму – ведь математика неустранима из физики. Самый популярный аргумент здесь звучит так: «все физические теории формулируются на языке математики, физическая теория проверяется опытом». Тогда вся физика (это называется «холизм относительно подтверждения научных теорий»). В физике вы не встретите возможности проверить каждое уравнение в каждой физической теории, но в целом удачная теория должна согласовываться с опытом.

Тогда можно спросить – чем математическая часть физической теории хуже физической её части. Ведь если мы позволяем правильным предсказаниям убедить нас что существуют, скажем, электроны, то почему бы не сказать ,что существуют тогда (раз теория правильно предсказывает), что существуют и математические объекты – в т.ч. числа. Здесь аргумент строился на том, что математика не устранима из современной физики.

Но что делать в этой ситуации номиналисту? Можно попытаться отрицать положение о том, что математика неустранима из физической теории. Существует подробная работа – в которй демонстрируется, что матетика не является неотъемлимой частью естествознания. Хартли Филдт – берет Ньютоновскую физику (теорию гравитации) – чтобы было проще. Ссылается на Гильберта, когда тот доказывал непротиворечивость геометрию – там его фундаментальные понятние не включали в себя численные понятия. Через конгруэнтность там вводятся числа. Также вводятся «точки пространства-времени» и отношения между ними без использования чисел. Главная идея тут – что существует само по себе пространство-время и через отношения между его точками можно ввести численные обозначения. Здесь роль математики состоит просто в том что сократить нам эти длинные определения. Здесь подразумевается что точки пространства-времени «более конкретны» чем числа.

Есть субстенциальная теория пространства-времени, а есть реляционная. Что первично – пространство или объекты, наполняющие пространство. Ньютон приводил знаменитый аргумент с ведром. Он считал что пространство не требует физических объектов и тогда существует некая объективная система отсчета (субстенционализм).

Галилей же был за реляционную систему – пространство возникает как набор отношения между предмета – мы можем двигаться относительно солнца, но покоиться относительно земли. Но Ньютон помимо реляционных систем подразумевал и некую «объективную», которая, правда, при этом непосредственно в классической механике не используется.

Общая идея Филда – математика устранима из научных теорий – её роль там просто для сокращения этих выводов. Ключевая характеристика - консервативность – т.е. для математика оказывается консервативной (её добавление не позволяет доказать что-то новое, что нельзя было бы доказать без математики). НО тут сразу есть проблема -пусть есть теория множеств, а там может быть бесконечное число аксиом. Как тут быть номиналисту?

Были люди попытались продолжить идеи Филда и показать консервативность математики для квантовой механики, но там им указали, но то, что они не охватывают всех интерпретаций квантовой механики.

То есть номиналисты просто говорят, что числа в реальности просто «упрощают жизнь» - с помощью них покупаем помидоры и считаем деньги. Тут вообще непонятно чем занимаются чистые математики – получается что они оторвались от реальности, причем ещё сильнее чем философы.

Аргумент «с ведром» (Ньютон за теорию субстенциальнго пространства). Закрутим ведро на веревке и отпустим – вода в процессе вращения будет подниматься по стенке. В этой ситуации невозможно объяснить что влияет на такое поведение воды, так как центробежная будет даже если вокруг будет пустота.

Семантика
Тут мы описываем что означает что. Но тут платонизм опять имеет преимущество.
Например высказывания 1) «существуют два постых числа больше 100» и 2) «Сущетсвуют как минимум два больших города, превышющих по населению Москву». Со 2-ым всё ясно – речь и дет о городах –а города те или иные существуют. НО о чем говорит 1-ое предложение? Тут речь идет уже трех непонятных объектах - числах. Как объяснить здесь математическую истину?

Идея тут такова – семантика для математики совершенно идентичная семантике других объектов языка. Т.Е. тут вполне можно использовать обычный язык.
Таким образом, если мы отрицаем платонизм нам приходится объяснят «истину» для математики, когда говорим о суждениях в ней. Что должно быть чтобы $2x2=4$.

Номиналисты в области семантики могут, например. Сказать, что математика изучает, не реальные объекты, а «возможные», тогда вся математика интерпретирует как множество модальных высказываний – т.е. мы говорим, что «возможно то-то и то-то». То есть математика сводится к утверждениям о возможностях – «если бы существовали такие объекты как числа, то $2x2 = 4$». Но тут не прослеживается особой разницы между «возможными объектами» и «математическими объектами». Ведь возможности «тоже не видно, тоже не слышно».

Структуралисты - говорят, что математика изучает структуры, а не сами объекты. Это тоже платонисты, но с таким вот уточнением.

В следующий раз будет последнее занятие – можно задавать вопросы.
[конец лекции]