Лекция 20 - Интуиционизм

Интуиционисты – самый показательный пример того насколько может измениться математика если вы всерьёз увлеклись философией. Здесь пришлось серьёзно реформировать математику – половину теорем пришлось доказать заново.

Зародилось это в 19 веке. Леопольд Кронекер в связи с теорией множетств – отрицал существование актуальной бесконечности. Отрицал что есть объективно бесконечные множества.

НО он не пытался сделать из этого далекоидущих выводов, просто сомневался.
В начел 20 века нашёл человек который развил это идею – это Брауэер, основоположенник интуиционизма. Он сформулировал основные его идеи. Ключевые его тезисы актуальны и сегодня .
Сегодня математики котроые занимаются этим направлением называются конструктивистами.

Развивалась в том числе и в СССР. Неоторые сколонны проводить жесткую границу между конструктивизмом и интуиционизмом. Есть и отличия есть и сходства, но и там и там запрещены доказательства «от противного».

Есть некие объекты с объективными свойствами – вроде доказательство от противного на этом основано.

Брауэр

По сути - у Канта была своя философия математики, но была у него и общая философия – о том что мы сами создаём наблюдаемую реальность, а с вещами которые сами по себе существуют мы не можем ясно оперировать – они нам не даны.

Брауэр был кантианцем. Он говорит, что:

• 1) Математические объекты не существуют сами по себе (в отличии от логицистов)
• 2) Матемаитка не требуте значков (в отличии от формалистов)
• 3) Математика возникает в нашем сознании – вот её источник.

Брауэр говорит, что у нас есть некая интуиция времени – когда что-то длится, и тогда мы понимаем , что можно разбить временной отрезок на два фрагмента – начальный и завершительный. Фактически таким вот «делением поплам» Брауэр определяет числа – то есть числа по его мнению возникают из времени, а время воспринимается сознанием. Числа, таким образом – в сознании. Таким образом у нас есть некие интуитивно понятные принципы. Числа - есть фундамент, они лежат в основании математики и вытекают из интуиции времени данной человеку. Это был первый акт.

Второй акт интуиционизма – возможность строить последовательности (уже не просто числа, а их ряды). И понимать что объекты могут обладать какими-то свойствами.
То есть – у нас нет объективной реальности в математике – нет объективной математики и объективной математической истины.

Например - реализм, это когда факты вообще не зависят от нас – независимо от того что мы об этом думаем. «Красота в глазах смотрящего» -- типичный тезис антиреалистов. Подобный подход популярен в области например эстетики. Релятивисты – вид антиреалистов, которые говорят «каждому своё».

Если какая-то категория объектом содаётся нами самими то истина тут зависит от нас.
Есть дискуссии – например относительно морали. Кто-то говорит, что моральные ценности мы сами создаём, кто-то говорит, что это зависит от нас.

Кстати реалистом в математики был Гедель (который сразил формализм).
Сфера дайсона --
По Кардашёву (классификация цивилизаций):

• 1) Цивилизация использует все энергию планеты
• 2) Всё энергию звезды – окружить её сферой.
• 3) Всю энергию галактики.

Так вот про галактики выше мы рассуждали с позиции реализма.

Закон исключенного третьего – объект или обладает данным свойством или не обладает.
Запишем это с квантором общности: $\forall x \in D (a(x) or not(A(x)))$

Но бывают и нечеткие предикаты – свойства не имеющие четких страниц. Так например несложно сделать нечто среднее между стулом и креслом. Как раз «на эту тему» бывают всякие «трехзначные логики».

В математике же предикаты имеют четкие границы и если у нас, например, сущетсвуют числа и мы определи некие свойства – то тогда это работает, но опять же, если предполгаем, что числа объективно существуют. Классическая математика так и работает.

Если же мы говорим, что числа существуют только в нашем сознании + ещё алгоритны для построения новых объектов. НО тот кажется, что закон исключенного третьего работать не будет. В этом идея.

Ещё раз – у нас нет объективной реалньости и нет истины в смысле соответствия объективным фактам. У нас истины – есть только доказательство. РАссмотрим любое математическое положение – оно либо истинно либо ложно – должен работать закон искл. Третьего (в классике).
Утверждение может быть либо доказано, либо недоказанных – либо «не то не то » - в математике есть немало недоказанных гипотез.

Вот о предположенни жизни на других планетах – что-то ещё понятно (планеты объективно сущетсвуют). НО вот гипотеза Гольбаха – она про числа, очень большие которые слишком абстрактны – это вызывает сомнения.

Из закона исключенного третьего следует принцип снятия двойного отрицания. В математической практике этот способ используется в доказательстве от противного.

Доказательство от противного не может работать без снятия двойного отрицания. МЫ говорим «получили отрициние – значит если $не А$ неверно, то $А$ верно».
Закон исключенного требования и вытекающее из него док-во от противного в интуиционизме и конструктивизме отрицаются.

Интуиционисты по сути отождествляют истину и доказуемость.

Брауэр всю жинь прожил в Голладии. Писал в нулевые и 10-е годы 20 века. Некоторые люди работавшие с Гильбертом перешли к Бруэру. Но Гильберт не пошёл так далеко – не отказался от закона исключенного третьего. Хотя его финизтизм – можно воспринимать как реверанс интуиционистам.

Вообще все началось с отрицания бесконечности, но Брауэр усомнился уже в природе самих чисел.
Потенциальная и актуальная бесконечность отличается интуиционистами. Актуальная – отрицается. Потенциальная – это такая которую можно построить за огромное число шагов, но всё же можно. Здесь используется некий идеальный субъект – но всё же человек, конечный.

До сих пор эта ветвь популярна в северной Европе.
Далее поговорим про логику.

Здесь исползьовать классическую логику – ту систему где мы используем таблицу истинности и предполагаем объективное существование неких множеств, когда используем квантор.
НО здесь в интуиционизме последователи Брауэра – в частности Гейтинг. У нас этим разделом интересовался Колмогоров в СССР. Здесь у нас использовали термин «конструктивизм».
Интуиционисты использовали термин «доказуемости».

Мы хотим что отрицание интуитивно означало «опровергнуто». То есть чтобы не было путаницы
С временным отсутствием доказательства.
В интуиционистской логике есть свои особенности, какие-то классические теоремы там исполняются, какие-то нет.

Существует арифметика Гейтинга – сильно похожая на арифметику Пеано, но с учетом особенностей интуиционизма.

Например – взяли два иррациональных - как доказать, что найдутся такие два числа $a$ и $b$, что $a^b$ будет рациональным числом.
Возьмем тут $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ - если это числа рационально, то мы его нашли (два таких пусть и тождественные), а если оно иррационально, то просто возьмём $(\sqrt{2}^{\sqrt{2}})^^{\sqrt{2} = 2$ -- и получим явно рациональное число $2$, т.е. мы подобрали $a = \sqrt{2}^{\sqrt{2}}$ а $b = \sqrt{2}$.
Такое доказательство «не пройдёт» в интуиционизме из-за исключенного третьего применяемого для гипотезы о рациональности числа $\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$.
Льюс ввел в логику модальные понятия.

Обычно выделяют 4-ре направления в конструктивной математике:
1) Сам Браэр – архитип интуициониста – занимался интуиционистской теорией множетсв, в основе которой лежала арифметика (а не наоборот). Тут не было проблем с аксиомой выбора, которая в принципе не работает в данном интуиционистком подходе. Простые базовые вещи «просто» передоказывается.
2) В 1930-е годы появилась советская школа (тут Колмоговор). На самый записной советский конструктивист – Марков (сын того, который «цепи Маркова»). Советская школа была на мировом уровне. Также работали в институте Стеклова.
3) В 60-е годы Бишоп построил (67 год публикации книги) – считается гением конструктивной математики. В его книге приводятся очень сложные и изошрённые док-ва для теорем матанализа.
4) Теория типов – это опять касается оснований математики.Общая идея идёт из теории типом от Рассела, но со всеми оговорками интуиционизма. Владимир Воеводский (род. в 1966 г.) в Принстоне использует теорию категорий и интуиционистскую логику формируется «унивалентные» основания математики.
Это были «4 направления». Последнее из них – весьма актуально сейчас.
[Конец лекции]
В следующий раз у нас будут философские вопросы.