Вычисления/расчёты на научном/инженерном калькуляторе (56 scientific functions)

Введение

Это краткое руководство расскажет о том, как считать на научном калькуляторе (scientific calculator). Здесь рассматривается довольно старая модель с 56 функциями (56 scientific functions). Все возможности этого калькулятора описаны полностью.

Изображение

Изображение
Кнопка ${\fbox{2ndF}}$ --- Second Function, на более новых калькуляторах обозначена как Shift.

Меры углов и тригонометрические функции

Мера угла может быть выражена в градусах (degrees), радианах (radians) или в градах (grads).
Соотношение между этими единицами таково
$$
360^\circ=2\pi= 400^g.
$$
Один град --- это сотая доля прямого угла.

Нажатие кнопки $\stackrel{{\rm DRG \blacktriangleright}}{\fbox{DRG}}$ переключает режимы deg, rad и grad.

В режиме deg введённое число интерпретируется как мера угла в градусах, в режиме rad --- в радианах, в режиме grad --- в градах. Последовательность ${\fbox{2ndF}}$ $\stackrel{{\rm DRG \blacktriangleright}}{\fbox{DRG}}$ переводит введённую меру угла в градусы, радианы или грады, и одновременно переключает режимы.

Клавиши $\stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}}$ , $\stackrel{{\rm cos}^{-1}}{\fbox{cos}}$ , $\stackrel{{\rm tan}^{-1}}{\fbox{tan}}$ предназначены для вычисления синуса, косинуса, и тангенса.
В режиме deg число на входе интерпретируется этими функциями как значение в градусах, в режиме rad --- в радианах, в режиме grad --- в градах.

Например, пусть включен режим deg. Тогда результатом команды
$$
\fbox{30} \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}}
$$
будет $0.5$. Пусть теперь включен режим rad. Тогда
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\pi\ \ A}{\fbox{EXP}} \fbox{\(\div\)}\ \fbox{6}\ \fbox{=}\ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}}
$$
тоже даст $0.5$.

$ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\pi\ \ A}{\fbox{EXP}} $ --- встроенная константа \(\pi\).

Для вызова функций, обратных синусу, косинусу и тангенсу используем последовательности
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}},
$$
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm cos}^{-1}}{\fbox{cos}},
$$
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm tan}^{-1}}{\fbox{tan}}.
$$
В режиме deg число на выходе этих функций является значением в градусах, в режиме rad --- в радианах, в режиме grad --- в градах.

Например, пусть включен режим deg. Тогда
$$
\fbox{0.5}\ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}}
$$
даст 30.

Перевод десятичной дроби в градусах в градусы, минуты, секунды

Для этой цели применяем кнопку $\stackrel{\to D.MS\ \ D}{\fbox{DEG}}$. Эта функция не зависит от режимов deg, rad и grad.

Чтобы перевести десятичную дробь $A$ (быть может, отрицательную) в градусы, минуты, секунды (Degrees, Minutes, Seconds), вводим
$$
A\ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to D.MS\ \ D}{\fbox{DEG}}.
$$
При этом цифры до точки будут обозначать градусы, первая пара цифр после точки --- минуты, вторая пара цифр после точки --- секунды, третья пара цифр --- сотые доли секунды. Обратите внимание на символ
$$
\to D.MS.
$$

Для перевода меры угла, выраженной в градусах, минутах, секундах в десятичную дробь используем
$$
A\ \stackrel{\to D.MS\ \ D}{\fbox{DEG}},
$$
где во введённом числе $A$ цифры перед точки интерпретируются как градусы, вторая пара цифр после точки --- минуты, третья пара цифр после точки --- секунды, остальные цифры --- десятые, сотые, тысячные и т.д. доли секунды.

Гиперболические функции и обратные гиперболические функции

Для вычисления значений гиперболических косинуса, синуса и тангенса используем
$$
\stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}},
$$
$$
\stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ \stackrel{{\rm cos}^{-1}}{\fbox{cos}},
$$
$$
\stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ \stackrel{{\rm tan}^{-1}}{\fbox{tan}}.
$$
Для функций, обратных гиперболическому синусу, косинусу и тангенсу, используем
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}}\ \ или \ \ \stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}},
$$
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ \stackrel{{\rm cos}^{-1}}{\fbox{cos}}\ \ или \ \ \stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm cos}^{-1}}{\fbox{cos}},
$$
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ \stackrel{{\rm tan}^{-1}}{\fbox{tan}}\ \ или \ \ \stackrel{{\rm arc \ hyp}}{\fbox{hyp}}\ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm tan}^{-1}}{\fbox{tan}}.
$$
Отметим, что все перечисленные в этом пункте функции не зависят от режимов deg, rad и grad.

Установить необходимое количество знаков после точки

В нашем случае разделителем целой и дробной частей числа является точка, а не запятая.

Например, если нужно округлять все результаты, и вводимые значения до третьего знака после точки, то используйте
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ {\rm TAB} }{ \fbox{ F $\leftrightarrow$ E} } \ \fbox{3}.
$$
Для того, чтобы отменить этот режим, используйте
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ {\rm TAB} }{ \fbox{ F $\leftrightarrow$ E} } \ \fbox{9}
$$
или
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ {\rm TAB} }{ \fbox{ F $\leftrightarrow$ E} } \ \stackrel{{\rm RND}}{\fbox{$\bullet$}}.
$$

Экспоненциальная форма записи вещественных чисел

Если результат вычисления не умещается в десяти разрядах, то он выводится в экспоненциальной форме.

Выведенный результат можно преобразовать в экспоненциальную форму и обратно, нажимая
$$
\stackrel{ {\rm TAB} }{ \fbox{ F $\leftrightarrow$ E} }.
$$

Чтобы ввести число в экспоненциальной форме, вводим сначала мантиссу, затем нажимаем
$\stackrel{ \pi \ \ A}{ \fbox{ EXP }}$, и, наконец, вводим порядок.

Комплексные числа. Прямоугольные и полярные координаты на плоскости

Для работы с комплексными числами нам потребуется переключить калькулятор в режим cplx} (complex numbers):
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm CPLX}}{\fbox{ $\blacktriangleright$ }}.
$$
В режиме cplx доступны четыре арифметические операции $\fbox{+}$, $\fbox{---}$, $\fbox{$\times$}$, $\fbox{$\div$}$, а также вычисление полярного представления комплексного числа, и обратное действие --- вычисление действительной и мнимой частей комплексного числа по радиусу и полярному углу.

Чтобы ввести комплексное число $A+Bi$, вводим действительную часть $A$, жмём
$\stackrel{\to r \theta}{\fbox{a}}$, затем мнимую часть $B$, и жмём $\stackrel{\to xy}{\fbox{b}}$.

Чтобы увидеть действительную часть результата вычисления, нажимаем $\stackrel{\to r \theta}{\fbox{a}}$ (в первую очередь выводится именно она).
Чтобы увидеть мнимую часть результата вычисления, нажимаем $\stackrel{\to xy}{\fbox{b}}$.

Предположим, что мы уже ввели действительную и мнимую части числа $A+Bi$ или получили их в качестве результата какого-нибудь вычисления. Чтобы увидеть представление этого комплексного числа в полярной системе координат, используем комбинацию
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to r \theta}{\fbox{a}}.
$$
Чтобы увидеть длину радиус-вектора $r$, нажимаем $\stackrel{\to r \theta}{\fbox{a}}$ (в первую очередь выводится именно он). Отметим, что $r$ --- это модуль данного комплексного числа:
$$
r=\sqrt{A^2+B^2}.
$$
$$
A+iB=r(\cos{\theta}+i \sin{\theta}).
$$
Чтобы увидеть величину полярного угла $\theta$, нажимаем $\stackrel{\to xy}{\fbox{b}}$.
Величина $\theta$ будет выражена в градусах, радианах или градах, в зависимости от того, какой режим выставлен: deg, rad или grad.

Пусть мы знаем модуль (длину радиус-вектора) $r$ и аргумент (величину полярного угла) $\theta$ некоторого комплексного числа, и хотим найти действительную и мнимую составляющие этого числа. Поступаем следующим образом.
Вводим длину радиус-вектора $r$, жмём
$\stackrel{\to r \theta}{\fbox{a}}$, затем величину полярного угла $B$, жмём $\stackrel{\to xy}{\fbox{b}}$, и, наконец,
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to xy}{\fbox{b}}.
$$
Здесь так же единицы измерения угла зависят от режимов deg, rad и grad.

Функции ${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to r \theta}{\fbox{a}}$ и ${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to xy}{\fbox{b}}$ доступны не только в режиме cplx. И точно так же их можно использовать для преобразования координат на плоскости вне режима cplx.

Кстати, функция кнопки $ \stackrel{{\rm CPLX}}{\fbox{ $\blacktriangleright$ }} $ --- удаление последней введённой цифры.

Статистические функции

Чтобы работать со статистическими функциями, нужно включить режим stat:
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm STAT}}{\fbox{ON/C}}.
$$
На дисплее появится соответствующий знак. Все дальнейшие действия выполнимы лишь в режиме stat.

При работе в режиме stat используются три регистра. Мы обозначим эти регистры через $n$, $\Sigma x$ и $\Sigma x^2$.

После включения режима stat в каждом из регистров $n$, $\Sigma x$ и $\Sigma x^2$ хранится нулевое значение.

Если теперь набрать какое-либо число и нажать клавишу $\stackrel{{\rm DATA\ \ CD}}{\fbox{M+}}$, то произойдёт следующее:

  • Значение в регистре $n$ будет увеличено на $1$;
  • Значение в регистре $\Sigma x$ будет увеличено на число, отображаемое на дисплее;
  • Значение в регистре $\Sigma x^2$ будет увеличено на квадрат числа, отображаемого на дисплее;
  • Значение в регистре $n$ будет выведено на дисплей.

Таким образом происходит накопление статистических данных.

Чтобы увидеть содержимое регистра $n$, нажмите
$$
\stackrel{n\ \ \Sigma x}{\fbox{)}}.
$$

Чтобы увидеть содержимое регистра $\Sigma x$, нажмите
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{n\ \ \Sigma x}{\fbox{)}}.
$$

Чтобы увидеть содержимое регистра $\Sigma x^2$, нажмите
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\overline{x}\ \ \Sigma x^2}{\fbox{${\rm X}\to{\rm M}$}}.
$$

Если набрать какое-либо число и набрать последовательность ${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{{\rm DATA\ \ CD}}{\fbox{M+}}$, то произойдёт следующее:

  • Значение в регистре $n$ будет уменьшено на $1$;
  • Значение в регистре $\Sigma x$ будет уменьшено на число, отображаемое на дисплее;
  • Значение в регистре $\Sigma x^2$ будет уменьшено на квадрат числа, отображаемого на дисплее;
  • Значение в регистре $n$ будет выведено на дисплей.

Так можно откорректировать введённые данные.

Предположим, что мы ввели $n$ (не путать с нашим условным названием регистра) чисел $x_1,\ ...,\ x_n$. Тогда у нас есть следующие исходные данные:

  • Количество введённых чисел $n$ (в регистре $n$);
  • Значение
    $$
    \sum_{i=1}^{n} x_i
    $$
    в регистре $\Sigma x$;
  • Значение
    $$
    \sum_{i=1}^{n} x_i^2
    $$
    в регистре $\Sigma x^2$.

Именно эти три величины используются статистическими функциями калькулятора.

Далее мы будем использовать символы $n$, $\Sigma x$ и $\Sigma x^2$ для обозначения значений в соответсвующих регистрах.

Cреднее значение

Используем
$$
\stackrel{\overline{x}\ \ \Sigma x^2}{\fbox{${\rm X}\to{\rm M}$}}.
$$
Оно вычисляется как
$$
\overline{x}=\frac{\Sigma x}{n}.
$$

Среднеквадратическое отклонение

Используем
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{s\ \ \sigma}{\fbox{RM}}.
$$
Оно вычисляется как
$$
\sigma=\sqrt{ \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2}=\sqrt{ \frac{1}{n} \left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_i^2\right)-n\overline{x}^2\right)}=\sqrt{ \frac{\Sigma x^2}{n}-\overline{x}^2}.
$$

Стандартное отклонение

Используем
$$
\stackrel{s\ \ \sigma}{\fbox{RM}}.
$$
Оно вычисляется как
$$
s=\sqrt{ \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i-\overline{x})^2}=\sqrt{ \frac{1}{n-1} \left(\sum_{i=1}^{n}\left(x_i^2\right)-n\overline{x}^2\right)}=\sqrt{ \frac{1}{n-1} \left(\Sigma x^2-n\overline{x}^2\right)}.
$$

Системы счисления и отрицательные двоичные числа в дополнительном коде

Для изменения используемой системы счисления и перевода числа из одной системы счисления в другую применяем

${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to{\rm OCT}}{\fbox{$\times$}}$ --- восьмеричная,

${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to{\rm BIN}}{\fbox{$\div$}}$ --- двоичная,

${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to{\rm DEC}}{\fbox{+}}$ --- десятичная,

${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\to{\rm HEX}}{\fbox{---}}$ --- шестнадцатиричная.

Для ввода шестнадцатиричных цифр используются кнопки
$$
\stackrel{ \pi \ \ A}{ \fbox{ EXP }} ,\ \ \stackrel{\sqrt[x]{y}\ \ B}{\fbox{$y^x$}},\ \ \stackrel{\sqrt[3]{\ \ }\ \ C}{\fbox{$\sqrt{\ \ }$}},\ \ \stackrel{\to D.MS\ \ D}{\fbox{DEG}},\ \ \stackrel{e^x\ \ E}{\fbox{$\ln$}},\ \ \stackrel{10^x \ F}{\fbox{$\log$}}.
$$
Для двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления калькулятор позволяет выпольнять операции только с целыми числами: сложение, вычитание, умножение, целочисленное деление. При этом для двоичной и восьмеричной систем используются все десять разрядов. Отрицательные числа представляются в дополнительном коде. Диапазоны целочисленных типов:

для двоичной системы используются 10 бит: $-2^9\ ...\ 2^9-1$, то есть
$$-512 \ ... \ 511;$$

для восьмеричной системы используются 30 бит: $-2^{29}\ ...\ 2^{29}-1$, то есть
$$-536870912\ ...\ 536870911.$$

Диапазон возможных значений для десятичной системы
$$-(10^{10}-1)\ ... \ 10^{10}-1,$$ то есть
$$-9999999999 \ ...\ 9999999999.$$

Отрицательные числа в шестнадцатиричном режиме также представляются дополнительным кодом (40 бит).

Остальные функции

Вводимые числа будем обозначать заглавными буквами, например \(A,\ B\). Эти числа могут быть дробными или отрицательными, если это допустимо для соответсвующей функции.

Квадратный корень

Для извлечения квадратного корня из числа \(A\) введите
$$
A\ \ \stackrel{\sqrt[3]{\ \ }\ \ C}{\fbox{$\sqrt{\ \ }$}}.
$$

Кубический корень

Для извлечения кубического корня из числа \(A\) введите
$$
A\ \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\sqrt[3]{\ \ }\ \ C}{\fbox{$\sqrt{\ \ }$}}.
$$

$y^x$

Для возведения числа $Y$ в степень $X$ введите
$$
Y\ \ \stackrel{\sqrt[x]{y}\ \ B}{\fbox{$y^x$}}\ \ X.
$$
Если $X$ --- целое число, то $Y$ может быть отрицательным.

$\sqrt[x]{y}$

Для извлечения из числа $Y$ корня степени $X$ введите
$$
Y\ \ \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\sqrt[x]{y}\ \ B}{\fbox{$y^x$}}\ \ X.
$$

$X^2$

Для возведения числа $X$ в квадрат введите
$$
X\ \ \stackrel{ 1/x }{\fbox{$x^2$}}.
$$

1/x

Для нахождения числа, обратного к $X$, введите
$$
X\ \ \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ 1/x }{\fbox{$x^2$}}.
$$

Десятичный логарифм

Для нахождения логарифма по основанию 10 числа $X$ введите
$$
X\ \ \stackrel{10^x \ F}{\fbox{$\log$}}.
$$

$10^x$

}

Для возведения $10$ в степень $X$ введите
$$
X\ \ \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{10^x \ F}{\fbox{$\log$}}.
$$

Экспонента $e^x$

Чтобы получить $e^X$, введите
$$
X\ \ \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{e^x\ \ E}{\fbox{$\ln$}}.
$$

Натуральный логарифм

Чтобы найти натуральный логарифм числа $X$, введите
$$
X\ \ \stackrel{e^x\ \ E}{\fbox{$\ln$}}.
$$

Факториал $n!$

Чтобы получить факториал числа $N$, введите
$$
N\ \ \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ n!}{\fbox{ CE }}.
$$

Генерация случайного числа (random)

Комбинация
$$
{\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ RND } {\fbox{ $\bullet$ }}.
$$
позволяет получить случайное число в диапазоне от 0 до 1 с тремя знаками после точки.

Изменение введённых данных

$\stackrel{ n!}{\fbox{ CE }}$ (Сlear Entry) заменяет нулём число на экране.

${\stackrel{{\rm CPLX}}{\fbox{ $\blacktriangleright$ }}}$ удаляет последнюю введённую цифру.

${\fbox{2ndF}}\ \stackrel{ \updownarrow }{\fbox{ ( }}$ меняет местами введённые два операнда бинарных операций (''содержимое регистра индикации и рабочего регистра``).

Работа с памятью

$\stackrel{s\ \ \sigma}{\fbox{RM}}$ --- вывести число, хранящееся в регистре памяти, на экран.

$\stackrel{\overline{x}\ \ \Sigma x^2}{\fbox{${\rm X}\to{\rm M}$}}$ --- загрузить число, отображаемое на экране, в регистр памяти.

$\stackrel{{\rm DATA\ \ CD}}{\fbox{M+}}$ --- получить результат и прибавить его к числу в регистре памяти.

Проценты

$ A \ \stackrel{\to{\rm DEC}}{\fbox{+}} \ B \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}} $ --- прибавить к \(A\) \(B\) процентов от \(A\):
$$
A(1+\frac{B}{100}).
$$

$ A \ \stackrel{\to{\rm HEX}}{\fbox{---}} \ B \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}} $ --- вычесть из \(A\) \(B\) процентов от \(A\):
$$
A(1-\frac{B}{100}).
$$

$ A \ \stackrel{\to{\rm OCT}}{\fbox{$\times$}} \ B \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}} $ --- найти \(B\) процентов от \(A\):
$$
A\frac{B}{100}.
$$

$ A \ \stackrel{\to{\rm DEC}}{\fbox{$\div$}} \ B \ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}} $ --- найти число, \(B\) процентов от которого есть \(A\):
$$
\frac{A\cdot 100}{B}.
$$

$A\ {\fbox{2ndF}}\ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}$ --- число \(A\) делим на 100:
$$
\frac{A}{100}.
$$

Вычисления со скобками и без скобок

Рассмотрим два случая, когда можно обойтись без скобок

Первый. Последовательность
$$ A \ \stackrel{\to{\rm DEC}}{\fbox{+}} \ B \ \stackrel{\sqrt[3]{\ \ }\ \ C}{\fbox{$\sqrt{\ \ }$}} \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}
$$
даст результат $A+\sqrt{B}$. Если заменить сложение на любую другую оперецию с двумя операндами, а извлечение корня --- на любую другую операцию с одним операндом, то последовательность выполнения не изменится: сначала будет выполнена операция с одним операндом, затем --- операция с двумя операндами.

В подобных выражениях операции с одним операндом можно комбинировать. Например, пусть нужно вычислить
$$
A-\sin\left(\log( B)\right).
$$
Для этого мы будем вводить
$$
A \ \stackrel{\to{\rm HEX}}{\fbox{---}} \ B \ \stackrel{10^x \ F}{\fbox{$\log$}} \ \stackrel{{\rm sin}^{-1}}{\fbox{sin}} \ \stackrel{\%}{\fbox{$=$}}.
$$

И второй интересный случай. Для вычисления, например, выражения
$$
A\cdot B+C\cdot D+E\cdot F
$$
нам также не потребуются скобки:
$$
A\ {\fbox{$\times$}}\ B\ {\fbox{+}} \ C\ {\fbox{$\times$}}\ D\ {\fbox{+}} \ E\ {\fbox{$\times$}}\ F.
$$

Максимальная глубина вложения скобок --- 15.

Comments

vedro-compota's picture

рекомендую поставить больше ключевых слов тематических) Картинок вроде раньше не было)

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Ключевые слова поменял.
Я дополнил текст. Теперь здесь полное руководство.
А картинки --- чтобы было понятнее, что за калькулятор.