Почему линейная зависимость набора векторов не означает, что любой вектор из него есть комбинация остальных

Primary tabs

vedro-compota's picture
Submitted by vedro-compota on Fri, 05/05/2017 - 20:55

Forums:

стр. 10:

Если набор векторов является линейно зависимым, то хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов.

Вопрос: почему это не означает, что любой из векторов данного набора есть линейная комбинация остальных?

Ответ:
Если один из векторов можно выразить как линейную комбинацию остальных (а значит коэффициент при нём не равен нулю), то это ещё не значит, что коэффициенты при других векторах, тоже ненулевые.

То есть:

Если коэффициент при векторе в линейной зависимом наборе не равен нулю, то его можно выразить как линейную комбинацию остальных векторов. Иначе нельзя. Никаких иных ограничений нет.

Key Words for FKN + antitotal forum (CS VSU):

  • Log in to post comments
  • 3034 reads

math2

Wed, 05/10/2017 - 13:00

Если коэффициент при векторе в линейной зависимом наборе не равен нулю, то его можно выразить как линейную комбинацию остальных векторов.

Да, это так.
Но может ещё случиться так, что существует не одна нетривиальная линейная комбинация, равная нулю. В одной линейной комбинации коэффициент при конкретном векторе ноль, в другой -- нет.

Если какой-то вектор системы не может быть выражен линейно через остальные векторы, то коэффициент при нём всегда ноль (в линейной комбинации этих векторов, равной нулю).