Связь структурных свойств поля алгебраических чисел со структурой его группы

Здесь рассматривается конечное нормальное алгебраическое расширение $K$ поля $\mathbb{Q}$ рациональных чисел.

Пусть $\mathfrak{G}$ --- группа Галуа поля $K$, и пусть $k\subset K$ --- некоторый делитель поля $K$.
Пусть $\mathfrak{H}(k)$ --- совокупность всех элементов из $\mathfrak{G}$, оставляющих $k$ неподвижным. Ясно, что $\mathfrak{H}(k)$ --- подгруппа в $\mathfrak{G}$.
Построим поле $k\left(\mathfrak{H}(k)\right)$ --- совокупность всех элементов из $k$, неподвижных относительно действия $\mathfrak{H}(k)$.

Элементы поля $k$ неподвижны относительно действия $\mathfrak{H}(k)$.
$k\left(\mathfrak{H}(k)\right)$ --- совокупность всех элементов из $K$, неподвижных относительно действия $\mathfrak{H}(k)$, как уже говорилось. Следовательно, $k\subset k\left(\mathfrak{H}(k)\right)$. Покажем, что $k\supset k\left(\mathfrak{H}(k)\right)$.

Пусть $\xi$ --- примитивный элемент поля $k$. Он неподвижен относительно действия группы $\mathfrak{H}(k)$, и, значит, он принадлежит либо $\mathfrak{H}(k)$, либо более обширной подгруппе $\mathfrak{H}_1$ группы $\mathfrak{G}$. Но если бы $\xi$ принадлежал такой группе $\mathfrak{H}_1$, то все элементы поля $k$ оказались бы неподвижными относительно действия $\mathfrak{H}_1$, и тогда мы должны были бы взять вместо $\mathfrak{H}(k)$ более обширную группу, содержащую $\mathfrak{H}_1$. Следовательно, $\xi$ принадлежит группе $\mathfrak{H}(k)$. По теореме 58 все величины из $K$, неподвижные относительно действия $\mathfrak{H}(k)$ рационально выражаются через $\xi\in k$, и поэтому $k\supset k\left(\mathfrak{H}(k)\right)$.
Получается $k= k\left(\mathfrak{H}(k)\right)$.

Пусть теперь задана произвольная подгруппа $\mathfrak{H}$ группы $\mathfrak{G}$ поля $K$.
Пусть $k(\mathfrak{H})$ --- совокупность всех элементов из $K$, неподвижных относительно действия $\mathfrak{H}$. Ясно, что $k(\mathfrak{H})\subset K$ --- поле.
Построим группу $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$ --- совокупность всех элементов из $\mathfrak{G}$, оставляющих поле $k(\mathfrak{H})$ неподвижным.

Элементы группы $\mathfrak{H}$ оставляют неподвижным поле $k(\mathfrak{H})$, а
$\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$ --- совокупность всех элементов из $\mathfrak{G}$, оставляющих поле $k(\mathfrak{H})$ неподвижным. Следовательно, $\mathfrak{H}\subset\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$. Покажем, что $\mathfrak{H}=\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$.

Пусть $\xi$ --- примитивный элемент поля $k(\mathfrak{H})$. Он неподвижен относительно действия группы $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$, и, значит, он принадлежит либо $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$, либо более обширной подгруппе $\mathfrak{H}_1$ группы $\mathfrak{G}$. Но если бы $\xi$ принадлежал такой группе $\mathfrak{H}_1$, то все элементы поля $k(\mathfrak{H})$ оказались бы неподвижными относительно действия $\mathfrak{H}_1$, и тогда мы должны были бы взять вместо $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$ более обширную группу, содержащую $\mathfrak{H}_1$. Следовательно, $\xi$ принадлежит группе $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$.

Величины, принадлежащие группе $\mathfrak{H}$ существуют в $K$, и они содержатся в $k(\mathfrak{H})$. Эти величины являются примитивными величинами поля $k(\mathfrak{H})$ по теореме 58. Каждая из этих примитивных величин по теореме 57 удовлетворяет некоторому неприводимому уравнению степени $(\mathfrak{G}:\mathfrak{H})$. Выше мы установили, что $\xi$ принадлежит группе $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$, и следовательно, по теореме 57, является корнем неприводимого рационального полинома степени $\left(\mathfrak{G}:\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)\right)$. Но степень неприводимого уравнения, которому удовлетворяет примитивная величина поля не зависит от выбора примитивной величины, и
поэтому
$$
\left(\mathfrak{G}:\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)\right)=(\mathfrak{G}:\mathfrak{H}).
$$
Индексы подгрупп $\mathfrak{H}$ и $\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right)$ относительно $\mathfrak{G}$ равны. Порядки этих групп также равны, и одна содержится в другой, поэтому
$$
\mathfrak{H}=\mathfrak{H}\left(k(\mathfrak{H})\right).
$$

Таким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между делителями группы $\mathfrak{G}$ и делителями поля $K$.

Упражнение 28. Страница 91.

Предложение. Для того, чтобы неприводимое уравнение $f(x)=0$, которому удовлетворяет величина $\alpha$ нормального поля, было нормалным, необходимо и достаточно, чтобы, чтобы группа $\mathfrak{H}$, к которой принадлежит $\alpha$, была нормальным делителем группы Галуа поля.
Доказательство.
Пусть $\alpha$ принадлежит нормальной подгруппе $\mathfrak{H}\subset \mathfrak{G}$, и пусть
$$
\mathfrak{G}=\mathfrak{H}A_1+\mathfrak{H}A_2+\ \ldots\ \mathfrak{H}A_m.
$$
Существует всего $m$ [попарно] различных сопряжённых с $\alpha$ величин:
$$
\alpha^{A_1},\ \ldots,\ \alpha^{A_m}.
$$
Коэффициенты полинома
$$
f(x)=\prod_{i=1}^m \left(x-\alpha^{A_i}\right)
$$
рациональны, и этот полином неприводим.
Величина $\alpha^{A_i}$ принадлежит группе ${A_i}^{-1}\mathfrak{H}A_i=\mathfrak{H}$. Поэтому по теореме 58 все $\alpha^{A_i}$ являются примитивными величинами поля $k(\mathfrak{H})$. Все корни полинома $f(x)$ рационально выражаюся через $\alpha$.

Обратно. Пусть уравнение $f(x)=0$ является неприводимым и нормальным, и пусть $f(\alpha)=0$. Каждый корень этого уравнения рационально выражается через $\alpha$. Пусть $\alpha$ принадлежит группе $\mathfrak{H}\subset\mathfrak{G}$. Тогда остальные корни уравнения $f(x)=0$ так же неподвижны относительно действия $\mathfrak{H}$.
Мы уже видели эти корни выше:
$$
\alpha^{A_1},\ \ldots,\ \alpha^{A_m}.
$$
$$
\mathfrak{G}=\mathfrak{H}A_1+\mathfrak{H}A_2+\ \ldots\ \mathfrak{H}A_m.
$$
Эти корни соответственно принадлежат группам
$$
{A_1}^{-1}\mathfrak{H}A_1,\ \ldots,\ {A_m}^{-1}\mathfrak{H}A_m.
$$
Получается, что каждая из групп ${A_i}^{-1}\mathfrak{H}A_i$ содержится в $\mathfrak{H}$. Порядок группы $\mathfrak{H}$ равен порядку каждой ${A_i}^{-1}\mathfrak{H}A_i$. Получается, что группа $\mathfrak{H}$ совпадает с каждой своей сопряжённой группой, то есть является нормальной подгруппой в $\mathfrak{G}$.

Упражнение 29. Страница 91.

Используем CAS Maxima, чтобы найти этот полином.

f: (x-(x_1*x_2+x_3*x_4))*(x-(x_1*x_3+x_2*x_4))*(x-(x_1*x_4+x_2*x_3));
f: expand(f);
f_degree:   hipow(f, x);
array(f_coefficients, f_degree);
for i:0 thru f_degree do f_coefficients[i]: coeff(f, x, i);
listarray(f_coefficients);
array(res_coefficients, f_degree);
for i:0 thru (f_degree-1) do res_coefficients[i]: elem([4, -a_1, a_2, -a_3, a_4], contract(f_coefficients[i],[x_1, x_2, x_3, x_4]) , [x_1, x_2, x_3, x_4]);
res_coefficients[f_degree]: f_coefficients[f_degree];
listarray(res_coefficients);
p: 0;
for i:0 thru (f_degree) do p: p+(z^i)*res_coefficients[i];
p;

Результат:

         3        2                                        2          2
(%o249) z  - a_2 z  + (a_1 a_3 - 4 a_4) z + 4 a_2 a_4 - a_1  a_4 - a_3