Парсер -- что это в программировании (в т.ч. граббер)

Парсер -- это программный робот/библиотека функций, разбирающий какой либо текстовый формат.
Разбирающий -- в смысле выбирающий во входящих текстовых данных нужные фрагменты и как-то их обработывающих.

Простейшая задача парсинга -- разбор строки, например выделение доменного имени сайта из URL.

Парсеры сайтов ("грабберы")

Парсеры сайтов обычно занимаются тем, что качают HTML страницы и как-то обрабатывают полученные данные.