Когда и почему число представляется в другой системе счисления бесконечной дробью -- пример теоремы с доказательством

Теорема

Теорема. Пусть $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ --- несократимая дробь, и $p$ -- простой делитель числа $b$. И пусть $n$ -- основание позиционной системы счисления. Если $n$ не делится на $p$, то $\frac{a}{b}$ представляется в $n$-ричной системе счисления бесконечной дробью.
Доказательство. Предположим противное: $\frac{a}{b}$ представляется $n$-ричной конечной дробью:
$$
\frac{a}{b}=\frac{c_1}{n^{k_1}}+\frac{c_2}{n^{k_2}}+\ \dots \ + \frac{c_m}{n^{k_m}}.
$$
Приведём правую часть к общему знаменателю:
$$
\frac{a}{b}=\frac{c}{d},
$$
Умножим обе части последнего равенства на $d$:
$$
\frac{ad}{b}=c.
$$
Cправа --- целое число, а слева --- несократимая дробь, так как $a$ и $n$ не делятся на $p$, а $d$ состоит лишь из простых множителей, входящих в $n$. Получили противоречие.
Теорема доказана.

Пример

Рассмотрим число 0.8 как пример к этой теореме:
$$
0.8=\frac{4}{5},
$$
и основание двоичной системы не делится на 5, а потому число 0.8 будет представлено в ней бесконечной дробью.

Теорема 2. Пусть $\frac{a}{b}\in\mathbb{Q}$ --- несократимая дробь, и $n$ -- основание позиционной системы счисления. Если $b$ не имеет простых делителей, которые не делят $n$, то $\frac{a}{b}$ представляется в $n$-ричной системе счисления конечной дробью.

Доказательство. В этом случае мы можем найти такую степень $k$ числа $n$, что
$b$ будет делителем числа $n^k$, поэтому можно найти такое целое число $d$, что
$$
\frac{a}{b}=\frac{d}{n^k}.
$$
Теорема доказана.