Ассоциативность совокупности преобразований

Пусть мы ввели понятие композиции $*$ двух преобразований $A$ и $B$ следующим образом:
Если $A: m \longmapsto m'$ и $B: m' \longmapsto m''$, то $A*B: m \longmapsto m''$.

А рассуждении о совокупности преобразований по книге Чеботарёва сказано:

Тогда нетрудно видеть, что как $(AB)C$, так и $\Large A(BC)$ переводит $ m$ в $\Large m'''$

Для всех совокупностей преобразований имеет место ассоциативный закон.

Пусть даны преобразования $\Large A, B, C,$
и пусть $\Large A$ переводит элемент $\Large m$ множества $\Large M$ в $\Large m'$,
преобразование $\Large B$ переводит $\Large m'$ в $\Large m''$,
и преобразование $\Large C$ переводит $\Large m''$ в $\Large m'''$.