алгебра

§4 Происхождение отрицательных чисел и правил действий над ними

Едва ли не самым тёмным для учащихся местом в алгебре является учение о действиях с отрицательными числами. И это не потому, что устанавливаемые правила действий сложны. Напротив, они очень просты. Но тёмными остаются два вопроса:

  1. Зачем вводятся отрицательные числа?
  2. Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по иным?

В частности, очень плохо понимается, почему при умножении и делении отрицательного числа на отрицательное результат есть положительное число.

§2 Исторические сведения о развитии алгебры

Вавилон. Истоки алгебры восходят к глубокой древности. Уже около 4000 лет назад вавилонские учёные владели решением квадратного уравнения (§29) и решали системы двух уравнений, из которых одно – второй степени (§33). С помощью таких уравнений решались разнообразные задачи землемерия, строительного искусства и военного дела.
Буквенные обозначения, применяемые нами в алгебре, не употреблялись вавилонянами; уравнения записывались в словесной форме.

§1 Предмет алгебры

Предметом алгебры является изучение уравнений 1) (III, 15-17) и ряда вопросов, которые развились из теории уравнений. В настоящее время, когда математика разделилась на ряд специальных областей, к области алгебры относят лишь уравнения определённого типа, так называемые алгебраические уравнения (III,19). О происхождении названия «алгебра» см. §2.

Что почитать по линейной алгебре

ВША рекомендует в одном из курсов:

  1. И. М. Гельфанд. Лекции по линейной алгебре.
  2. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.
  3. Э. Б. Винберг. Курс алгебры.

Комментарий к книге Н.Г. Чеботарёва Основы теории Галуа.

Связь структурных свойств поля алгебраических чисел со структурой его группы

Здесь рассматривается конечное нормальное алгебраическое расширение $K$ поля $\mathbb{Q}$ рациональных чисел.

Размерность пространства -- определение

Как определяется размерность пространства

Линейное пространство $R$ называется $n$-мерным, если в нём существует $n$ линейно независимых векторов и нет большего числа линейно независимых векторов.

Алгебра - определение

Пусть $A$ — векторное пространство над полем $K$, снабженное операцией $A\times A\to A$, называемой ''умножением''. Тогда $A$ называют алгеброй над $K$, если для любых $x,y,z\in A, \; a,b\in K$ выполняются следующие свойства:

Опеределение композиции преобразований - обсуждение определения

Если преобразование A переводит элемент m множества M в m', а преобразование B переводит m' в m'', то под преобразованием AB (их композицией) мы будем подразумевать такое преобразование, которое переводит m в m''.

Это не годится для определения операции, так как, вообще говоря, отображений, переводящих
m в m'' может быть много.

Ассоциативность композиции отображений - доказательство

Пусть мы ввели понятие композиции $*$ двух преобразований $A$ и $B$ следующим образом:
Если $A: m \longmapsto m'$ и $B: m' \longmapsto m''$, то $A*B: m \longmapsto m''$.

А рассуждении о совокупности преобразований по книге Чеботарёва сказано:

Тогда нетрудно видеть, что как $(AB)C$, так и $\Large A(BC)$ переводит $ m$ в $\Large m'''$

Subscribe to RSS - алгебра