все группы коммутативны - попытка опровержения

В доказательстве 6-го упражнения база индукции верна.

От соотношения
$$
\underbrace{A_1...A_{i-1}}_{B} \; A_{j} \; \underbrace{A_{i+1}....A_{j-1}}_{C} \; A_{i} \; \underbrace{A_{j+1}....A_{n+1}}_{D} = J
$$
мы переходим к соотношению
$$BA_iCA_jD = J.$$

Сказано: "получим соотношение $BA_iCA_jD = J$ из меньшего числа элементов".

--- Меньшего, чем что?
--- Меньшего, чем $n+1$.

Получается, что $n+1\gt 5$.
$$
n \geq 5.
$$

Парадокс. Все группы коммутативны.

Непосредственная проверка.
Пусть имеется $\mathfrak{A_2} = (A_1,A_2,J) $, и справедливо
$ A_1A_2=J $. Действительно, по аксиоме $4$

$\forall{A_i}$ группы $ \exists{A_j} $ такое, что справедливо $ A_iA_j=J$.
Для определенности зафиксируем элемент $ A_1 $, тогда видим, что $ A_2 $ - правый обратный элемент (выполняется аксиома $4$). Согласно теореме $ 3 $ видим, что $ A_2 $ так же является и левым обратным элементом для $ A_1 $, то есть $ A_1A_2=$ $A_2A_1 $.

Здесь мой вопрос/уточнение по поводу хода "док-ва" в упражнении 6.

Доказательство, предположения проведённо по индукции должно выполняться при любом $n$.
Пусть $n = 3$, тогда $n + 1 = 4$, и пусть $i = 2$, а $j = 4$, тогда (сразу поменяем местами $i$-ый и $j$-ый элементы):
$$ \underbrace{A_1}_{B} A_j \underbrace{A_3}_{C} A_i = J $$
Введём обозначения - так, как и там: