линейная комбинация

Формулировка 1

Пусть в линейном пространстве задана система система из векторов:

$$ f_1,.....,f_k . $$
Пусть, далее, каждый вектор
$$ g_1,.....,g_l $$

Есть линейная комбинация векторов $ f_1,.....,f_k . $. Тогда, если векторы $ g_1,.....,g_l $ линейно независимы, то $l \leq k$.

стр. 14:

Если в пространстве $R$ существует $k$ линейно независимых векторов $f_1,....., f_k$ таких, что каждый вектор из R есть их линейная комбинация, то пространство $R$ $k$-мерно.

Док-во:

В соответствии с определением размерности пространства, имея $k$ линейно независимых векторов, мы может сказать, что пространство будет $k$-мерным, если в нём не найдётся более чем $k$ линейно независимых векторов.

стр. 10:

Если набор векторов является линейно зависимым, то хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных векторов.

Вопрос: почему это не означает, что любой из векторов данного набора есть линейная комбинация остальных?

Ответ:
Если один из векторов можно выразить как линейную комбинацию остальных (а значит коэффициент при нём не равен нулю), то это ещё не значит, что коэффициенты при других векторах, тоже ненулевые.

То есть: