LIKE

Проблему (добавления like условия в запрос) удалось решить, используя код, вида:

$command = static::find()->filterWhere(
  ['LIKE', 'verify_code', "$token"]
);
$User = $command->one();

Используйте что-то вроде:

$query="SELECT * FROM `" . $TableName . "` "
	. " WHERE LOWER(`имяполятаблицы`) LIKE '%" . strtolower($codeFragment)."%' ";

-- основано на SQL LIKE

Например так (используем условие ИЛИ и like):

Organization::find()
	->select(['_id', 'full_name'])
	->where(['like', 'short_name', $q])
	->orWhere(['like', 'full_name', $q])
	->orderBy('full_name')
	->asArray()
	->all())

SQL LIKE

Для начала скажем что общий вид запроса таков:

SELECT * FROM `имятаблицы`  WHERE `имястолбца` LIKE '%фрагмент%';

Например:

SELECT * FROM `people`  WHERE `name` LIKE '%Vas%';

где % обозначает любой символ, а так как мы поставили проценты с двух сторон,
то как бы говорим, что наc интересуют строки где этот фрагмент ходит хоть в какую то часть строки.

Запрос из php

Поиск без учёта регистра возможен запросом вроде (php код):