Шаблонизатор -- программа (/набор скриптов), позволяющий удобно подставлять разные данные в фиксированный html, и обычно предоставляющий свой собственный синтаксис для работы с переменными/объектами (в т.ч. циклы и другие языковые констркции).
Твиг ("веточка") -- это шаблонизатор на PHP, считающийся одним из самых мощных из имеющихся сегодня.
