математический факультет ВГУ

Теорема Бэра

Полное метрическое пространство R не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств

Задача

Привести пример полного метрического пространства и последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров в нём, имеющих пустое пересечение.

Под "точкой" а абстрактном определении из "теории множеств" подразумевается обычно элемент множества - это может быть и геометрическая точка, и набор координат, и функция, набор функций или даже рота солдат - то есть, вообще говоря, любой (любого типа) элемент некоторого множества.

пространство с метрикой:
$\Large p(x, y) = \sideset{}{}{sup}_k \big|y_k - x_k\big|$
всех ограниченных последовательностей $\Large x(x_1, x_2, ....,x_n, .....)$, состоящих из действительных чисел не является сепарабельным

Задачи из "Элементы теории функций и функционального анализа" - Колмогоров, Фомин

1. + Пример двух шаров и пространства, где шар с большим радиусом содержится в шаре с меньшим радиусом
2. Последовательность вложенных шаров, имеющих пустое пересечение в метрическом пространстве

извлечь единственную строку без foreach используя PHP PDO можно так:

$row  = $PDOREZ -> fetch();

где $PDOREZ - результат PDO-запроса

Задача:
Пусть у нас есть функция вида $\Large t^{-\alpha}$ и следующее отношение между значениями p и q:
$\Large 1 \leq p Рассмотрим отрезок [0, 1]:
1) Доказать .что функция:
$\Large t^{-\alpha} \in L_p[0, 1] \Leftrightarrow 0 то есть - доказать, что $\Large t^{-\alpha} \in L_p[0, 1]$ верно тогда и только тогда, когда $\Large 0

2) Каково условие принадлежности $\Large t^{-\alpha} \in L_p \backslash L_q$ ?

Задачи:

1. Глава 2 - Задача 4 - Пространства L1 и L2 (Lp) - пример доказательства задачи - эль 1 эль 2 эль пэ пространства
2. Условие принадлежности функции к пространству Lp (эль пэ)

Условие

Пусть L_1 и L_2 - обычные Лебеговы пространства на единичном интервале. Доказать следующими тремя способами, что L_2 я вляется множеством первой категории в L_1:

(а) показать, что множество $\Large \{f : \int{|f|^2} \leq n \} $замкнуто в L_1, но имеет пустую внутренность

(б) пусть $\Large g_n(t) = n$ на $\Large [0, n^{-3}]$ и $\Large g_n(t) = 0$ вне $\Large [0, n^{-3}]$; показать, что:
$\Large \int{f g_n} \rightarrow 0$
для любых функций f \in L_2, но не для любых функций f \in L_1

Для начала выключите вашу виртуальную машину.

Правый клик по машине в списке слева и выбираем:

Settings -> Storage ->  Add Attachment ->  Add CD/DVD Device

И кликаем по кнопке "Leave Empty" ("Оставить пустым")

После чего запускаем машину - данный виртуальный сидиром может, в частности, понадобиться как раз для установки дополнений гостевой ОС