оператор

Рассмотрим оператор дифференцирования ${d \over{dx}} :\mathbb{С}[x]\to\mathbb{С}[x]$ (между пространствами полиномов) и найдем его точечный спектр (введем норму в этом пространстве норму как сумму модулей коэффициентов: $ \| y(x) \| = \sum\limits_{i=1}^n |a_i| $, и метрику как $\| a_m(x) - a_n(x) \| = \sum\limits_{i=1}^n |y_{mi} - y_{ni} | $).

"Cвойство линейности" для отображения (отсюда):

1. $f(x + y) = f(x) + f(y)$ для всех $x,y \in L_k$
2. $f(\alpha x) = \alpha f(x)$ для всех $x \in L_k$ и всех $\alpha \in K$.

-- смысл данных свойств в сохранении соотношений между элементами, участвующими в операциях/выражениях (в данном случае сложения векторов и умножения на число).

Оператор -- в общем случае оператор это то же, что функция, напомним:

Функция -- правило, по которому элементу из одного множества $X$ ставится в соответствие конкретный (единственный) элемент из другого множества $Y$.

Отображение -- закон (или правило), по которому каждому $\Large x \in X$ ставится в соответствие некоторый (единственный) $\Large y \in Y$.

ПРИМЕЧЕНИЕ: множества $X$ и $Y$ могут совпадать, тогда можно говорить о преобразовании.

Образ и прообраз отображения

Если отображение $P$ ставит в соответствие всем элементам из множества $X$ некоторые (или все) элементы из множества $Y$, то:

Пусть $R$ - метрическое пространство. Полное метрическое пространство $R^*$ называется пополнением пространства R, если:

1. $R$ является подпространством пространства $R^*$
2. $R$ всюду плотно в $R^*$, т.е. [R] = R*

где [R] - есть замыкание пространства R.

Оператор - это (в фукциональном анализе) отображение ставящее в соответствие элементу пространства элемент другого (или того же самого) пространства.

Пространства, между которыми происходит отображение, могут линейными, например, линейным.