В прошлой главе мы познакомились с различными классами линейных преобразований n-мерного пространства, имеющих $n$ линейно независимых собственных векторов. Мы знаем, что в базисе, состоящем из собственных векторов такого преобразования, его матрица имеет особенно простой вид, так называемую диагональную форму.
Рассмотрим сопряженное линейное преобразование $A$ в n-мерном евклидовом пространстве. Мы покажем, что его собственные значения можно получить, рассматривая некоторую задачу на минимум, связанную с соответствующей $A$ квадратичной формой $(Ax, x).$ Это, в частности, позволит доказать существование собственных векторов и собственных значений, не пользуясь теоремой о существовании корня уравнения n-й степени. Эти экстремальные свойства полезны также при вычислении собственных значений.
Пользователь передает целое положительное число N, выведете на экран последовательность от 1 до N "ёлочкой", например для N=17:
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14
15 16 17
ПРИМЕЧАНИЕ: для вывода очередной строки используйте отдельную подпрограмму
Определение. Линейное [преобразование $A$ вещественного n-мерного евклидова пространства называется ортогональным преобразованием, если оно сохраняет скалярное произведение векторов, т. е.
$$ (Ax, Ay) = (x, y) \qquad qquad (9)
для всех $x, y \in R.$
Полагая в равенстве (9) $x = y, $ получаем
$$ |Ax|^2 = |x|^2, \qquad \qquad (10)$$
т. е. ортогональное преобразование сохраняет длины векторов.
Упражнение. Доказать, что условие (10) является достаточным условием ортогональности линейного преобразования.
Теорема 4. Пусть в n-мернос пространстве $R$ заданы две квадратичные формы $A(x; x)$ и $B(x; x)$, причем форма $B(x; x)$ положительно определенная. Тогда в $R$ существует базис, в котором обе эти квадратичные формы записываются в виде суммы квадратов.
Пусть в n-мерном евклидовом пространстве задана симметричная билинейная форма $A(x; y).$ Как было показано выше, каждой симметричной ьилинейной форме $A(x; y)$ соответствует такое линейное самосопряженное преобразование $A,$ что $A(x; y) = (Ax, y).$
