Несчётность множества действительных чисел на отрезке [0, 1] - доказательство

Несчётность множества действительных чисел на отрезке [0, 1]

Очень хорошее доказательство имеется в этом учебнике

Докзательство (изложенно несколько в более вольной форме, чем в учебнике):

  1. "Выпишем" из данного данного множества некоторе счётное множество действительных чисел (дробей) - каждое из которых будет иметь вид:
    $\large a_1 = 0, a_{11}a_{12}a_{13}.....a_{1n}.....,$
    $\large a_2 = 0, a_{21}a_{22}a_{23}.....a_{1n}.....,$
    $\large . . . . . . .. . . . . . . .. .. . .. .. . . . . . . . .. .$
    $\large a_n = 0, a_{n1}a_{n2}a_{n3}.....a_{nn}.....,$
    $\large . . . . . . .. . . . . . . .. .. . .. .. . . . . . . . .. .$
  2. А теперь составим число (тоже дробь), которое не совпадёт ни с одним из указанных выше чисел, для этого сделаем следующее:
  3. составим такое число :
    $\large b = 0, b_{1}b_{2}b_{3}.....b_{n}....., $, что цифры его дроби не сопадают с диагональю (см. Диагональная процедура Кантора) цифр дроби списка числе {a1, a2,,,,,,an,,,,,}, приведённого в первом пункте, точнее это "несовпадение" можно записать так:
    $\large b_{1} \neq a_{11}$
    $\large b_{2} \neq a_{22}$
    $\large.............................$
    $\large.............$
    $\large b_{n} \neq a_{nn}$
    и так далее...
  4. Таким образом число b не будет равно ни одному из списка {a1, a2,,,,,,an,,,,,} , а значит

    никакое счётное множество дейсвительных чисел на отрезке [0, 1] "не исчерпывает данного отрезка"

    (то есть не совспадает с ним, будучи "меньше" по числу элементов)

ПРИМЕЧАНИЕ: доказательство приведённое выше содержит некоторый "обман", дело в том, что на самом деле бесконечные дроби вроде (вида $\large 1/10^{q}$ - то есть которые могут быть записаны бесконечным числом нулей или девяток):

5,0000...... =  4,99999......

равны.

То есть несовпадение двух десятичных дробей вовсе не значит, что числа, которое они обозначают различны.

Но можно строить дробь $\large b = 0, b_{1}b_{2}b_{3}.....b_{n}....., $ более острожно - вовсе избегая нулей и девяток, например введя правило из двух пунктов:

  1. $\large b_{n} = 1 $ если $\large a_{nn} \neq 1$ (цифры уже не совпадают)
  2. а если всё же $\large a_{nn} = 1$, то цифре $\large b_{n}$ дроби $\large b$ (которую мы строим отличной от всех) можно присвоить любую другую цифру отличную от единицы, скажем:
    $\large b_{n} = 2$

Введённое правило позволяет избежать "обмана", и сделать доказательство "вполне корректным". =)

Неточность в ПРИМЕЧАНИИ:

0,50000...... =  4,99999......

$0,50000...=0,49999...$

В связи с периодической дробью $0,(9)=0,999...$
приведу одно рассуждение из школьной алгебры:

$0,(9)=\frac{9}{10}\big(1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\frac{1}{10^3}+...\big)=$

$=\frac{9}{10}\big(\frac{1}{ 1-\frac{1}{10} }\big)=$

$=\frac{9}{10}\big( \frac{10}{10-1}\big)=1.$

vedro-compota's picture

Спасибо!

0,50000...=0,49999...

но думаю исправлю на:

5,0000...=0,49999...

- там кажется так было)

А рассуждение - это на основании правила для геометрической прогрессии?

_____________
матфак вгу и остальная классика =)

Да, сумма членов геометрической прогрессии.