wordpress parent category_parent Какая разница в таксономии

category_parent судя по всему нужен просто для обратной совместимости.
Поэтому ориентироваться в новых версиях лучше на parent.

Источник: https://wordpress.stackexchange.com/questions/321016/whats-the-difference-between-parent-and-category-parent-in-a-wp-term-object