Лекция 19 - ФОРМАЛИЗМ

ФОРМАЛИЗМ

Бритва Оккама – не нужно постулировать объекты, если можно без них обойтись. На основании этого формалисты не определяют числа – т.к. они не уверены что существует что-то абстрактное.

Возникает вопрос – как данный подход сочетается с реальной математической практикой?
Ещё вариант – математика просто изучает значки.
В 20 веке были ультрафинитисты – они считали, что в принципе не существует больших чисел.
Маленькие числа можно интерпретировать как материальные объекты, а вот большие числа – далеко не любые.

Первые формалисты – Гейне и Томе.

В чем недостаток того, что математика просто манипуляция символами (два варианта –либо вообще нет предметной области, либо это «просто значки» ). НО если всё же есть некие значки - то математика «это наука о значках». Семантику для математической теории описывают значки.
В виде значков приводят штрихи. – можно строить их последовательность. Вводит операцию конкатенации – это может играть интуитивно роль сложение. Потом можно ввести умножение и т.д.

Но тут возникает вопрос – а что делать с бесконечными числами штрихов? И ещё один вопрос как вообще это за штрихи – ведь они же и на доске и на бумаге или ещё где - т.е. эти штрихи абстрактны, в принципе так же как и числа.
А противники существования чисел – противники абстрактного. Т.е. подобный формализм не выглядит убедительным.
Можно утверждать, что в реальности существуют только книги, парты и студенты. А двойка (2 книги, 2 пары, 2 студента) сама по себе не существует – таким образом, формалист как бы говорит что число мы привносим в реальность, а так-то его там нет.
Так Фреги и указывает на значки (которые явно фигурируют как абстрактные сущности) – как на «уязвимость» в позиции формалистов. Это было в конце 19 века.

Догадка Гольбаха (18 век) – любое четное число можно представить в виде сумме двух простых чисел.

Далее Гильберт – считался чуть ли не 1-ым математиков на мировом уровне (20 век) – особенно в первые десятилетия 20 века.

Гильберт решил доказать непротиворечивость аксиом геометрии – он погрузил геометрию в матанализ (исходя из того что анализ не противоречив), он смог построить док-во непротиворечивости неевклидовой геометрии.

Но противоречивость матанализа не доказана (до сих пор – тут важна уже проблема Цермело).
Итак Гильберт провозглашает теорию формализма в нулевые годы 20 века. Тоже говорит о штрихах и о том что есть база – типа элементарных операций, которые нам даны изначально – типа что мы видим три штриха и два штриха и понимаем что их пять – ну а все остальное вводим формально, базируясь на аксиомах (операции тоже – для «понимания» операций нам как раз нужны интуитивные представления).
До публикации теоремы Геделя в 1930 году Гильбер активно занимался развитием своей теории – в том числе с учеником Бернайсом. Гильберт провозгласил программу «Финитизм» - т.е. в математики разрешены только конечные объекты и конечные числа, т.к. мы не уверены что существуют числа (не уверены, что числа вообще существуют).

Так у логицистов все объективно существует, у интуционстов «всё в головах», у формалистов же вообще «просто значки».

Идея Гильберта заключается в том, что математика изучает некие аксиоматические системы. Любая аксиоматическая система в принципе подлежит изучению, единственный признак «достойности» - непротиворечивость.

Формальные системы включают в себя наборы символов и правил манипуляции с этими символами, символы могут описывать реально существующие математические объекты- например последовательности штрихов.

НАпримерп есть такпая аксиоматическая система – арифметика Пеано – по сути, говорят формалисты, она опимывает штрихи или любые их заменители.

Но там возникает бесконечность. НО в своей статье 1926 года Гильберт формулирует философию инструментализма – таких философов, которые говорят что вообще не нужно думать об объектах которые изучаются наукой. Наука нужна лишь для того, что либо просто получить точные результаты экспериментов, либо вообще только для практической пользы.

Инструменталисты вообще молчат об изучаемых объектах – так как это не важно. Так основной целью физики называют способность делать точные предсказания.

Пример – вы говорите ребенку не идти в подвал, так как там живет бабай – но вы можете даже сами не верить в существование данного объекта («бабая»), но тем не менее с успехов используете эту теорию для устрашения ребёнка =)

Гильберт делит все математические утверждения на 2 группы:

• 1) Идеальные – тут вообще не обязательно соответствовать реальному миру. Они вводятся просто для удобства доказательств.
• 2) Реальные - это те, которые конечные объекты – т.е. соответствуют реальному миру, если речь идёт о методе – то он должен быть «конечным».

Так в сухом остается математика представляет из себя множество аксиоматических систем. В школу формалистов также входил математик Карри.

Реальный математик берёт конкретную систему и начинает её исследовать. Но есть и другая дисциплина – которая изучает сами эти системы. Дисциплину эту они назвали метаматиматикой - то есть математику, которая изучает другие математические системы. Два требования к ним – непротиворечивость и полнота.

У системы бывает синтаксис (это теория моделей) и семантика (теория доказательств – то есть когда мы изучаем когда высказывание истинно, а когда ложно).

Далее мы определяем отношение следования – выводимость.
Дедукция – истинность посылок исключает ложность следствия.
Истина - семантическое понятие, она показывает какую часть миро обозначает наше предложение. Определение дедукции тоже семантическое.
Но далее мы можем простроить систему правил – и они будут уже синтаксическими объектами.
Если всё что мы доказали – истинно, а не доказали – ложь – то это непротиворечивоать

Полнота – когда вывод есть и в нашей системе проходит.
Непротиворечивость – нельзя чтобы мы построили то, чего нет на самом деле. (у Гильберта – отсутствие в системе одновременно истинности и ложности одного и тоже об высказывания, то есть отсутствие ситуации что можно показать что некое высказывание одновренно и истинно и ложно).
Множество Рассела – показатель чего для старой теории множеств? (нарушат непротиворечмость)
Программа Гильберта - доказывать непротиворечивость для каждой системы.

Проблема разрешимости – берем формулу и ищем алгоритм – то есть это поиск алгоритма который выводит формулу для системы аксиом по правилам.
Программа Гильберта была похоронена теоремой Геделя о неполноте, которая появилась в 30-ом году.

ТЕОРЕМА ГЕДЕЛЯ
На самом деле были две теормы (1-я и вторая)
В первой было показано что о всякой системы, более сложной чем арифметика (включающие арифметику), есть вещи которые нельзя доказать.
Теорема Гделя касается лишь систем где можно строить формулы, которые говорят только о других формулах или о самих себе.
Например есть утверждения которые говорят сами о себе.

Парадокс лжеца – нарисовать рамкау и написать вне «предложение в этой рамке ложно».

Учитывая что большинство разделов математики . включают арифметику – система Гильберта рухнула.

Сначала Гедель говорит, что если есть арифметика – значит: есть бесконечная последовательность чисел. Любое док-во в такой системе представляет из себя какие-то значки, из которых выводятся другие значки и т.д.
Главная идея: в любой системе последовательность значков, формул, доказательств будет бесконечной не счетность бесконечной (эквивалентность с мощностью множества натуральных чисел). Тогда в нашей системе будет счетное количество доказательств в нашей системе – так как эти примитивные символы – дискретные объекты. НО если это так мы можем сопоставить натуральным числам все формулы – каждую можно занумеровать («нумерация Геделя»).
Тогда если в нашей системе можно строить утверждения о числах, тогда можно и строить и утверждения о формулах –но тогда мы сможем построить формулы, которые говорят о самих себе.
Далее мы можем определить предикат доказуемости – то есть существует последовательность формул – где каждая из последующих является результатом предыдущих – в самом начале стоит аксиома – если такая последовательность есть, то наша формула доказуема.
Но тут строится специальная формула («предложение Геделя» для данной системы) – это предложение, отрицающее свою собственную доказуемость.
Пользуясь средствами арифметики нельзя доказать, что она непротиворечива.
Теорема Геделя говорит что в рамках самой системы нельзя доказать её собственную непротиворечивость.
Вторая теорема Геделя – о том что нельзя доказать непротиворечивость системы
(примечание: вообще вот эта лекция весьма мутная – чтобы понимать материал, надо реально знать аксиоматику, логику и логику предикатов – т.е. листать учебники).
Классическая логика имеет много преимуществ. Классическая математика основана на классической логике.
В этом контексте нить рассуждения я потеря – не думаю, что в реальности это в аудитории понятно кому-то кто не знаком с теми науками (логикой и т.д.) на примере учебников или более менее полного курса по основаниям математики.
Понятно, что сегодня нет рьяных сторонников Гильберта.
После теорем Геделя. Все люди которые работали с Гильбертом над этими проблемами стали заниматься теорией вычислений. Черч, Тьюринг – исследовали проблему разрешимости – отсюда вывели основания компьютерных наука.
Изоморфизм Карри – логические системы и компьютерные программы – взаимо-переводимые вещи.
В следующий раз будет интуиционизм.
Конец лекции.