Скалярное произведение -- определение (внутреннее произведение)

Скалярным произведением в векторном пространстве $L$ над полем $\mathbb{R}$ вещественных или $\mathbb{C}$ комплексных чисел называется функция от двух аргументов $\langle x, y \rangle$, которая:

• определенна для любых $x, y \in L$
• и значения которой лежат в $\mathbb{R}$ (или в $\mathbb{C}$, в зависимости от того над каким полем определено векторное пространство)

При этом функция $\langle x, y \rangle$ должна обладать следующими тремя свойствами:

1. $\langle \alpha x_1 + \beta x_2, y \rangle = \alpha \langle x_1 , y \rangle + \beta \langle x_2, y \rangle$ для $ \forall x_1, x_2, y \in L$ и $\forall \alpha, \beta \in \mathbb{C}$ (или $\in \mathbb{R}$) -- линейность (скалярного произведения) по первому аргументу.
2. $\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$ для $ \forall x_1, x_2, y \in L$ -- свойство эрмитовой симметричности (черта означает комплексное сопряжение).
   Из этого свойства следует, что при наличии вещественного поля ($\mathbb{R}$) скалярное произведение, не зависит от порядка следования элементов, в комплексном же поле ($\mathbb{C}$), скалярное произведение элементов в прямом порядке равно комплексному произведению для обратного порядка.
3. Для любого $x$: $\langle x, x \rangle \geqslant 0$, причем $\langle x, x \rangle = 0$, только если $x = 0$ (положительная определенность скалярного произведения)