§4 Происхождение отрицательных чисел и правил действий над ними

Едва ли не самым тёмным для учащихся местом в алгебре является учение о действиях с отрицательными числами. И это не потому, что устанавливаемые правила действий сложны. Напротив, они очень просты. Но тёмными остаются два вопроса:

1. Зачем вводятся отрицательные числа?
2. Почему над ними совершаются действия по таким-то правилам, а не по иным?

В частности, очень плохо понимается, почему при умножении и делении отрицательного числа на отрицательное результат есть положительное число.

Все эти вопросы возникают потому, что с отрицательными числами учащихся обычно знакомят до того, как они начали решать уравнения, и больше не возвращаются к правилам действий с отрицательными числами. Между тем лишь в связи с решением уравнений выясняется ответ на оба поставленных выше вопроса. Не будь уравнений, не было бы нужды и в отрицательных числах.

Долгое время уравнения изучались без помощи отрицательных чисел: при этом возникали многие неудобства; для устранения этих неудобств и были введены отрицательные числа. При этом в течение долгого времени многие выдающиеся математики отказывались вводить их в употребление или вводили с большой неохотой. Ещё Декарт (1596–1650) называл отрицательные числа «ложными числами».

О характере упомянутых неудобств даёт представление такой простой пример. При решении уравнения первой степени с одним неизвестным, например уравнения
$$7x - 5 = 10x - 11$$
мы переносим члены так, чтобы в одной части уравнения оказались известные, в другой – неизвестные величины. При этом знаки меняются на обратные. Собирая неизвестные в правую часть, а известные в левую, получаем:
$$11 - 5 = 1- x - 7x;\qquad 6 = 3x; \qquad x =2.$$
Эти преобразования можно выполнять, совершенно не пользуясь отрицательными числами и рассматривая знаки $+ $ и $- $ – как знаки сложения и вычитания, а не как знаки положительных и отрицательных чисел. Но тогда нужно заранее продумать вопрос, в какую сторону, вправо или влево, следует переносить неизвестные члены. Если, например, в вышеприведённом уравнении перенести неизвестные члены влево, получим:
$$7x - 10x = 5 -11.$$
Не вводя отрицательных чисел, мы не можем из $5 $ вычесть $11$, не можем из $7x$ вычесть $10x$ и, значит, не можем дальше продвинуться в решении уравнения. Между тем заранее не всегда видно (особенно если членов много), в какую сторону нужно переносить неизвестные члены, чтобы такого положения не создавалось. Вычислитель должен быть готов проделать двойную работу, вторично совершая перенос членов в нужную сторону. В порядке рационализации вычислительного процесса и были введены отрицательные числа. Действительно, если мы согласимся считать «возможным» «невозможное» вычитание $5 - 11$, обозначив результат через $-6$, и точно так же вычитание $7x - 10x$, обозначив результат $-3x$, то получим:
$$-3x = -6.$$
Определяя $x$, находим, что
$$x = -6:-3.$$
Теперь выясняется, что, введя отрицательные числа, мы должны установить правило, что при делении отрицательного числа $(-6)$ на отрицательное $(-3) $ частное есть положительное число $(2). $Действительно, это частное должно дать значение неизвестной величины $x$, которое раньше было найдено другим путём (без отрицательных чисел) и оказалось равным $2$.

Таким примерно образом и были введены отрицательные числа; цель этого введения – рационализация вычислительного процесса; правила действий над отрицательными числами явились результатом внедрения этого рационализаторского приёма в вычислительную практику.

Многолетние и многообразные испытания показали, что этот приём обладает огромной эффективностью и находит себе блестящие применения во всех областях науки и техники. Всюду введение отрицательных чисел позволяет охватить единым правилом такие явления, для которых нужно было бы выдумывать десятки правил, если ограничиться числами положительными.

Итак, на два вышепоставленных вопроса нужно ответить следующим образом:

1. отрицательные числа вводятся затем, чтобы устранить ряд трудностей, возникших прежде всего при решении уравнений;
2. правила действий над ними вытекают из необходимости согласовать результаты, полученные с помощью отрицательных чисел, с теми результатами, которые могли бы быть получены и без них.

Все эти правила (см. 5)могут быть установлены при рассмотрении простейших уравнений подобно тому, как выше было выведено правило деления отрицательного числа на отрицательное.