#38 Погрешность суммы и разности

Предельная абсолютная погрешность суммы равна сумме предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример 1.
Складываются приближенные числа $265$ и $32$. Пусть предельная погрешность первого есть $5$, а второго $1$. Тогда предельная погрешность суммы равна $5 + 1 = 6.$ Так, если истинное значение первого есть $270$, а второго $33$, то приближенная сумма $(265 + 32 = 297)$ на $6$ меньше истинной $(270 + 33 = 303)$.

Пример 2.
Найти сумму приближенных чисел $0,0909 + 0,0833 + 0,0769 + 0,0714 + 0,0667 + 0,0625 + 0,0588 + 0,0556 + 0,0526$. Сложение дает $0,6187$. Предельная погрешность каждого слагаемого $0,00005$; предельная погрешность суммы $0,00005\cdot 9 = 0,00045$. Значит, в последнем (четвертом) знаке суммы возможна ошибка до 5 единиц. Поэтому округляем сумму до третьего знака, т. е. до тысячных. Получаем $0,619$; здесь все знаки верные.

Замечание.
При значительном числе слагаемых обычно происходит взаимная компенсация погрешностей; поэтому истинная погрешность суммы лишь в исключительных случаях совпадает с предельной погрешностью или близка к ней. Насколько редки эти случаи, видно из Примера 2, где у нас $9$ слагаемых. Истинная величина каждого из них может отличаться в пятом знаке от взятого приближенного значения на 1, 2, 3, 4 или даже на 5 единиц в ту и в другую сторону.

Например, первое слагаемое может быть больше своего истинного значения на 4 единицы пятого знака, второе — на две, третье — меньше истинного на одну единицу и т. д. Подсчет показывает, что число всех возможных случаев распределения погрешностей составляет около одного миллиарда.

Между тем лишь в двух случаях погрешность суммы может достигнуть предельной погрешности 0,00045; это произойдет:
1) когда истинная величина каждого слагаемого больше приближенной на $0,00005$ и
2) когда истинная величина каждого слагаемого меньше приближенной на $0,00005$.

Значит, случаи, когда погрешность суммы совпадает с предельной, составляют только $0,0000002\%$ всех возможных случаев.

Дальнейший подсчет показывает, что случаи, когда погрешность суммы девяти слагаемых может превысить три единицы последнего знака, тоже очень редки. Они составляют лишь $0,07\%$ из числа всех возможных. Две единицы последнего знака погрешность может превысить в $2\%$ всех возможных случаев, а одну единицу — примерно в $25%$. В остальных $75\%$ случаев погрешность девяти слагаемых не превышает одной единицы последнего знака.

Пример 3.
Считая слагаемые Примера 2 точными числами ¹), округлим их до тысячных и сложим. Предельная погрешность суммы будет $9\cdot 0,0005 = 0,0045$. Между тем имеем:
$$0,091 + 0,083 + 0,077 + 0,071 + 0,067 + 0,062 4 + 0,059 + 0,056 + 0,053 = 0,619,$$
т. е. приближенная сумма отличается от истинной на $0,0003$, т. е. на треть единицы последнего знака приближенных чисел. Все три знака приближенной суммы верны, хотя теоретически последняя цифра могла быть грубо неверной.

Произведем в наших слагаемых округление до сотых. Теперь предельная погрешность суммы будет $9\cdot 0,005 = = 0,045$. Между тем получим
$$0,09 + 0,08 + 0,08 + 0,07 + 0,07 + 0,06 + 0,06 + 0,06 + 0,05 = 0,62$$
Истинная погрешность составляет только $0,0013$, т. е. $\dfrac{1}{8}$ единицы последнего знака приближенных чисел.

Предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Пример 4.
Пусть предельная погрешность приближенного уменьшаемого $85$ равна $2$, а предельная погрешность вычитаемого $32$ равна $3$. Предельная погрешность разности $85 — 32 = 53$ есть $2 + 3 = 5$. В самом деле, истинные значения уменьшаемого и вычитаемого могут равняться $85 + 2 = 87$ и $32 — 3 = 29$. Тогда истинная разность есть $87 — 29 = 58$. Она на $5$ отличается от приближенной разности $53$.

Предельную относительную погрешность суммы и разности легко найти, вычислив сначала предельную абсолютную погрешность (#36).

Предельная относительная погрешность суммы (но не разности!) лежит между наименьшей и наибольшей из относительных погрешностей слагаемых.

Если все слагаемые имеют одну и ту же (или примерно одну и ту же) предельную относительную погрешность, то и сумма имеет ту же (или примерно ту же) предельную относительную погрешность. Иными словами, в этом случае точность суммы (в процентном выражении) не уступает точности слагаемых. При значительном же числе слагаемых сумма, как правило, гораздо точнее слагаемых (по причине, объясненной в замечании к Примеру 2).

Пример 5.
В каждом слагаемом суммы $24,4 + 25,2 + 24,7 = 74,3$ предельная относительная погрешность примерно одна и та же, именно $0,05 : 25 = 0,2\%$. Такова же она и для суммы. Здесь предельная абсолютная погрешность равна $0,15$, а относительная $0,15 : 74,3 \approx 0,15 : 75 = 0,2\%$.

В противоположность сумме разность приближенных чисел может быть менее точной, чем уменьшаемое и вычитаемое.

«Потеря точности» особенно велика в том случае, когда уменьшаемое и вычитаемое мало отличаются друг от друга.

Пример 6.
Измерение внешнего и внутреннего диаметра тонкостенной трубки дало для первого $28,7$ мм, а для второго $28,3$ мм. Вычислив по этим данным толщину стенки, найдем $\dfrac{1}{2}\cdot \left(28,7 - 28,3\right) = 0,2$ (мм). Предельная относительная погрешность уменьшаемого $(28,7)$ и вычитаемого $(28,3)$ одна и та же: $\delta = 0,2\%$. Предельная относительная погрешность разности $0,4$ (а также ее половины $0,2$) составляет $25\%$.

Ввиду указанного факта следует всегда, когда это возможно, избегать вычисления искомой величины с помощью вычитания близких чисел. Ср. Алгебра, 26, пример 9.

¹) эти слагаемые получены обращением дробей $\dfrac{1}{11}, \quad \dfrac{1}{12},\quad \dfrac{1}{13},\quad \dots , \dfrac{1}{19}$ в десятичные с точностью до четвертого знака. Читатель пусть возьмет наугад взятые числа.