#45 Средние величины

Если дан ряд величин, то всякая величина, заключенная между наименьшей и наибольшей из данных величин, называется «средней». Из средних величин наиболее употребительны средняя арифметическая и средняя геометрическая.

Средняя арифметическая (или среднее арифметическое) получается от сложения данных величин и деления суммы на число этих величин:
$$\text{ср. ар.} = \dfrac{a_1 + a_2 +\dots + a_n}{n}$$
($a_1, a_2, \dots, a_n$ - данные величины, $n$ — их число).

Пример. Даны числа $83,\quad 87,\quad 81,\quad 90$;
$$\text{ср. ар.} = \dfrac{83 + 87 + 81 + 90}{4} = 85\dfrac{1}{4}.$$
Среднее геометрическое получается от перемножения данных величин и извлечения из произведения корня, показатель которого равен числу величин:
$$\text{ср. геом.} = \sqrt[n]{a_1a_2\dots a_n}$$
($a_1, a_2, \dots, a_n$ — данные величины, $n$ — их число).

Пример. Даны числа $40,\quad 50,\quad 82$;
$$\text{ср. геом.} = \sqrt[3]{40\cdot 50\cdot 82} = \sqrt[3]{164\,000} \approx 54,74$$
Среднее геометрическое всегда меньше среднего арифметического, кроме того случая, когда все взятые числа равны. Тогда ср. ар. равно ср. геом. Когда различия между взятыми числами составляют малые доли самих чисел, то и разность между ср. ар. и ср. геом. мала в сравнении с ними.

Вычисление ср. ар. имеет большое значение во всех областях практики.

Пример 1.
Измеряется расстояние между двумя пунктами с помощью 10-метровой рулетки с сантиметровыми делениями. Сделано $10$ промеров. Результаты их (в метрах): $62,36;\quad 62,30;\quad 62,32;\quad 62,31;\quad 62,36;\quad 62,35; 62,33;\quad 62,32;\quad 62,38;\quad 62,37$. Различие результатов объясняется случайными неточностями измерений. Тогда вычисляют среднюю арифметическую:
$$\text{ср. ар.} = (62,36 + 62,30 + 62,32 + 62,31+ 62,36+ 62,35 + \\+ 62,33 + 62,32 + 62,38 + 62,37) : 10 = 62,34.$$
Это число представляет более надежную величину измеряемого расстояния, чем числа, полученные при измерении, потому что случайные ошибки почти всегда компенсируются при вычислении среднего (см. ниже #47).

Пример 2.
У тысячи взрослых людей измерен рост. Найдена ср. ар. Это — так называемый «средний рост». Он не выражает, вообще говоря, роста определенного человека. Но если измерить рост большого числа других людей и снова вычислить ср. ар., то средний рост окажется почти таким же.

Разумеется, теоретически возможны случаи, когда в группе из $1000$ лиц будут преобладать великаны или карлики. Но из числа всех мыслимых случаев эти исключительные случаи составляют, как показывают вычисления, ничтожнейший процент. Поэтому практически безошибочно можно считать, что в любой группе из $1000$ человек средний рост будет почти одинаковым. Средние арифметические, найденные из массовых измерений, называются статистическими средними.

Статистические средние имеют большое практическое значение. Например, зная средний удой коровы определенной породы при определенных условиях ее питания и т. д., можно вычислить удой стада,, умножая средний удой на число коров в стаде.