#47 Точность среднего арифметического

Если ср. ар.. получено из сравнительно небольшого ряда данных измерения (например, из $10$, как в примере 1 #45), то не исключена возможность, что истинная величина несколько отклоняется от вычисленной средней. Тогда важно знать, как велико может быть это отклонение; речь идет не о теоретически мыслимом отклонении (оно может быть как угодно велико), а о практически возможном (ср. пример 2 #45). Величина последнего зависит от величины среднего квадратичного отклонения.

Средним квадратичным отклонением. называется квадратный корень из ср. ар. всех квадратов разностей между данными числами и их ср. ар. Ср. кв. отклонение принято обозначать греческой буквой $\sigma$ (сигма):
$$\sigma = \sqrt{\dfrac{(a_1 - a)^2 + (a_2 - a)^2 + \dots + (a_n - a)^2}{n}}, \qquad \qquad (A)$$
где $a = \dfrac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$ (здесь $a_1, a_2, \dots, a_n$ — данные числа, $n$ — их число, $a$ — их ср. ар., $\sigma$— ср. кв. отклонение).

Замечание.
В формуле ($А$) любую из разностей можно заменить ей обратной; это дает возможность не вводить в вычисление отрицательных чисел¹. Именно, когда одно из данных чисел меньше, чем ср. ар., то мы берем его за вычитаемое, а ср. ар. за уменьшаемое.

Пример.
Вычислим ср. кв. отклонение для чисел предыдущего параграфа.
Там мы нашли их ср. ар. $62,34$. Разности между данными числами $62,36;\quad 62,30$ и т. д. и их ср. ар. будут (в единицах сотых долей): $2;\quad 4;\quad 2;\quad 3;\quad 2;\quad 1;\quad 1;\quad 2;\quad 4; \quad 3$. Квадраты этих разностей $4;\quad 16;\quad 4;\quad 9;\quad 4;\quad 1;\quad 1;\quad 4; \quad16;\quad 9$. Ср. ар. квадратов разностей (в единицах сотых долей):
$$\dfrac{4 + 16 + 4 + 9 + 4 + 1 +1 + 4 + 16 + 9}{10} = 6,8$$
Квадратный корень из этого числа $\sqrt{6,8} \approx 3$ (сотых долей); $\sigma = 0,03$. Если число измерений примерно равно $10$, то истинное значение величины может отличаться от ср. ар. не более чем на величину ср. кв. отклонения $\sigma$. Точнее говоря, отклонения, большие, чем $\sigma$, возможны лишь в исключительных случаях, число которых составляет около полпроцента всех возможных случаев.

В рассмотренном примере истинная величина практически не может отклониться от числа $62,34$ больше, чем на $0,03$. Поэтому она заключена в пределах между $62,34 - 0,03 = 62,31$ и $62,34 + 0,03 = 62,37$.

Если число измерений значительно больше десяти, то максимальное практически возможное отклонение истинной величины от ср. ар. будет меньше чем $\sigma$. Именно отклонение не превысит величины $\dfrac{3\sigma}{\sqrt{n}}$ — число измерений). Так, когда число измерений примерно равно $1000$, практически возможны лишь отклонения, не превышающие $0,1\sigma$.

¹Об отрицательных числах см, #3