№48 Отношение и пропорция

Частное от деления одного числа на другое называется также их отношением. Термин «отношение» применялся прежде только в тех случаях, когда требовалось выразить одну величину в долях другой, однородной с первой, например одну длину в долях другой, одну площадь в долях другой площади и т. д., что выполняется с помощью деления (см. #24). Отсюда понятно, почему появился особый термин «отношение»: раньше его смысл был иной, чем термина «деление», который относили к делению некоторой именованной величины на отвлеченное число. Сейчас этого различия не делают; говорят, например, об отношении неоднородных величин, скажем веса тела к его объему и т. д. Когда речь идет об отношении однородных величии, его часто выражают в процентах.

Пример.
В библиотеке $10\,000$ книг; из них $8\,000$ на русском языке; каково отношение числа русских книг к общему их числу?
$8\,000 : 10\,000 = 0,8$. Искомое отношение есть $0,8$ или $80\%$.

Делимое называют предыдущим членом отношения, делитель — последующим. В нашем примере $8\,000$ — предыдущий член, $10\,000$ — последующий.

Два равных отношения образуют пропорцию. Так, если в одной библиотеке $10\,000$ книг, из них $8\,000$ на русском языке, в другой библиотеке — $12\,000$ книг, из них $9\,600$ на русском языке, то отношение числа русских книг к общему числу книг в обеих библиотеках одинаково: $8\,000 : 10\,000 = 0,8;\quad 9\,600 : 12\,000 = 0,8$. Мы имеем здесь пропорцию, которая записывается так: $8\,000 : 10\,000 = 9\,600 : 12\,000$. Говорят: «$8\,000$ относится к $10\,000$ так, как $9\,600$ к $12\,000$». $8\,000$ и $12\,000$ — крайние члены; $10\,000$ и $9\,600$ — средние члены пропорции.

Произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. В нашем примере $8\,000\cdot 12\,000 = 96\,000\,000;\quad 10\,000\cdot 9\,600 = 96\,000\,000$. Один из крайних членов пропорции равен произведению средних членов, деленному на другой крайний. Точно так же один из средних членов равен произведению крайних, деленному на другой средний. Если
$$a : b = c : d,\\
\text{то}\\
a = \dfrac{bc}{d},\quad b = \dfrac{ad}{c}\\
\text{и т.д. Так, в нашем примере}\\
8\,000 = \dfrac{10\,000\cdot 9\,600}{12\,000} $$
Этим свойством постоянно пользуются для вычисления неизвестного члена пропорции, когда три остальных члена известны.
Пример.
$12 : x = 6 : 5$ ($x$ обозначает неизвестное число).
$$x = \dfrac{12\cdot 5}{6}$$
Практические применения пропорций см. #50.

Пропорция, в которой средние члены равны, называется непрерывной; например, $18 : 6 = 6:2$. Средний член непрерывной пропорции есть среднее геометрическое (см. #45) крайних членов; в нашем примере $6 = \sqrt{18\cdot 2}$.